The relativistic noncommutative nonassociative group of velocities and the Thomas rotation. (English) Zbl 0693.20067

Die homogenen orthochronen Lorentztransformationen L haben eine treue Parameterdarstellung \(L=L(v,\rho)\) mit \(v\in {\mathbb{R}}^ 3_ c:=\{u\in {\mathbb{R}}^ 3|\) \(u^ 2_ 1+u^ 2_ 2+u^ 2_ 3<c^ 2\}\), c \(=\) Lichtgeschwindigkeit, und \(\rho \in SO_ 3({\mathbb{R}})\). Diese Darstellung läßt sich ausnützen um eine algebraische Verknüpfung * auf der Menge \({\mathbb{R}}^ 3_ c\) der zulässigen Geschwindigkeiten zu definieren: Nimmt man zwei Lorentztransformationen L(u,id), L(v,id) ohne Rotationsanteil (in der Physik: “Boost” genannt), so ergibt sich: \(L(u,id)\cdot L(v,id)=L(w,\delta)\) mit eindeutig bestimmtem \(w\in {\mathbb{R}}^ 3_ c\) und \(\delta \in SO_ 3({\mathbb{R}})\). \(\delta:=tom[u,v]\) ist die aus der speziellen Relativitätstheorie bekannte Thomas Rotation. Definiert man \(u*v=w\), so wird \(({\mathbb{R}}^ 3_ c,*)\) zu einer Loop, in der noch das folgende abgeschwächte Assoziativ- und Kommutativgesetz gilt: \[ a*(b*x)=(a*b)*tom[a,b](x),\quad a*b=tom[a,b](b*a). \] Es ist interessant zu notieren, daß diese Loop \(({\mathbb{R}}^ 3_ c,*)\) dieselben Axiome erfüllt, wie die additive Loop \((F,+)\) der Fastbereiche \((F,+,\cdot)\), die bei der Untersuchung scharf 2-fach transitiver Gruppen auftreten.
Diese vom Autor entdeckte Loop-Struktur von \(({\mathbb{R}}^ 3_ c,\cdot)\) ermöglicht ein viel besseres Verständnis der Rollen, die die Boost und die Thomas-Rotationen in der Lorentzgruppe spielen. Außerdem kann man nun formal mit Boost und Thomas-Rotationen rechnen, ohne auf die Matrizendarstellungen zurückgehen zu müssen, wodurch die Rechnungen kürzer und übersichtlicher werden. In diesem Aufsatz erläutert der Autor seine Vorgehensweise und rechnet einige algebraische Relationen von Thomas-Rotationen aus.
Reviewer: H.Wefelscheid


20N05 Loops, quasigroups
83C40 Gravitational energy and conservation laws; groups of motions
22E70 Applications of Lie groups to the sciences; explicit representations
20B22 Multiply transitive infinite groups
17A99 General nonassociative rings
Full Text: DOI


[1] W.E. Baylis and G. Jones, Special relativity with Clifford algebras and 2{\(\times\)}2 matrices, and the exact product of two boosts, J. Math. Phys. 29,57–62 (1988). · Zbl 0709.17501 · doi:10.1063/1.528135
[2] A. Ben-Menahem, Wigner’s rotation revisited, Amer. J. Phys. 53, 62–66 (1985). · doi:10.1119/1.13953
[3] V.B. Berestetskii, E.M. Lifshitz and L.P. Pitaevskii, Quantum Electrodynamics (trans. J.B. Sykes and J.S. Bell), p. 126. Pergamon Press, New York (1982).
[4] J.T. Cushing, Vector Lorentz transformations, Amer. J. Phys. 35, 858–862 (1967). · doi:10.1119/1.1974267
[5] J.P. Fillmore, A note on rotation matrices, IEEE Comp. Graph. 4, 30–33 (1984). · doi:10.1109/MCG.1984.275935
[6] G.P. Fisher, The Thomas precession, Amer. J. Phys. 40, 1772–1785 (1972). · doi:10.1119/1.1987061
[7] H. Goldstein, Classical Mechanics, pp. 285–286, 2nd ed., Addison-Wesley, Menlo-Park, California (1980).
[8] H. Karzel, Inzidenzgruppen I, lecture notes by I. Pieper and K. Sörensen, Univ. Hamburg (1965),123-135.
[9] W. Kerby and H. Wefelscheid, The maximal sub near-field of a near domain, J. Algebra, 28, (1974), 319–325. · Zbl 0276.16029 · doi:10.1016/0021-8693(74)90043-X
[10] J. Mathews, Coordinate free rotation formalism, Amer. J. Phys. 44 1210 (1976).
[11] N.D. Mermin, Private communication.
[12] M.W. Standberg, Special relativity completed: the source of some 2s in the magnitude of physical phenomena, Amer. J. Phys. 54, 321–331 (1986). · doi:10.1119/1.14637
[13] L.H. Thomas, The motion of the spinning electron, Nature 117,514 (1926).
[14] L.H. Thomas, The kinematics of an electron with an axis, Philos. Mag. S. 7, 1–23 (1927).
[15] L.H. Thomas, Recollections of the discovery of the Thomas processional frequency, AIP Conf. Proc. No. 95, High Energy Spin Physics (Brookhaven National Lab, ed. G.M. Bunce) pp. 4–12 (1982).
[16] G.E. Uhlenbeck, Fifty years of spin: personal reminiscences, Phys. Today, 29,43–48 (June, 1976). · doi:10.1063/1.3023519
[17] A. A. Ungar, Thomas rotation and the parametrization of the Lorentz transformation group, Found. Phys. Lett. 1, 57–89 (1988).
[18] H. Wähling, Theorie der Fastkörper, Thales Verlag, W. Germany, 1987.
[19] H. Wefelscheid, ZT-Subgroups of sharply 3-transitive groups, Proc. Edinburgh Math. Soc, 23 (1980), 9–14. · Zbl 0441.20004 · doi:10.1017/S0013091500003540
[20] C.B. van Wyk, Lorentz transformations in terms of initial and final vectors, J. Math. Phys. 27 1311–1314 (1986). · doi:10.1063/1.527136
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.