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New approach in Mahler’s method. (English) Zbl 0694.10035
Verf. beweist mit Hilfe der Methode von Yu. V. Nesterenko [Mat. Sb., Nov. Ser. 128(170), No.4(12), 545-568 (1985); Engl. translation in Math. USSR, Sb. 56, 545-567 (1987; Zbl 0603.10033)] folgenden Satz. Sei K ein algebraischer Zahlkörper und für \(i=1,...,s\) mögen die Koeffizienten der Reihen \(f_ i(z):=\sum_{h\geq 0}a_{ih}z^ h\in K[[z]]\) bei festem \(L\geq 1\) den Bedingungen log \(| \bar a_{ih}|\), log \(d_{ih}=O(h^ L)\) genügen, wobei \(d_{ih}\) den Hauptnenner der \(a_{i0},...,a_{ih}\) bedeutet und \(| \bar a|\) für algebraisches a das Maximum der Beträge sämtlicher Konjugierten von a. Die \(f_ 1,...,f_ s\) mögen bei ganzrationalem \(d>1\) den Funktionalgleichungen \(B(z)f_ i(z^ d)=A_ i(z,f_ 1(z),...,f_ s(z))\) mit \(B\in K[z]\), \(A_ i\in K[z,x_ 1,...,x_ s]\) genügen, wobei der Gesamtgrad aller \(A_ i\) in \(x_ 1,...,x_ s\) nicht größer als \(t(<d)\) sein möge. Mindestens m der \(f_ 1,...,f_ s\) seien über \({\mathbb{C}}(z)\) algebraisch unabhängig und \(m_ 0\) sei die größte ganze Zahl mit \(m/m_ 0\geq 1+(L(m+1)+m)(\log t)/(\log d).\) Konvergieren alle \(f_ 1,...,f_ s\) an einer algebraischen Stelle \(\alpha\neq 0\) mit \(| \alpha | <1\) und ist \(a(\alpha^{d^ j})\neq 0\) für \(j=0,1,...\), so ist der Transzendenzgrad des Körpers \({\mathbb{Q}}(f_ 1(\alpha),...,f_ s(\alpha))\) über \({\mathbb{Q}}\) mindestens \(m_ 0.\)
Einige interessante Korollare zum Satz werden angegeben, etwa das folgende. Bezeichnet \(f(z)\) die Rudin-Shapiro Reihe \(\sum_{h\geq 0}a_ hz^ h\) mit \(a_ 0:=1\) und \(a_{2h}:=a_ h,\quad a_{2h+1}:=(-1)^ ha_ h\) für \(h\geq 0\), so sind \(f(\alpha)\) und \(f(-\alpha)\) voneinander algebraisch unabhängig für jedes algebraische \(\alpha\neq 0\) mit \(| \alpha | <1\). Auch das Hauptergebnis von J. H. Loxton und A. J. van der Poorten [J. Reine Angew. Math. 330, 159-172 (1982; Zbl 0468.10019)] ist im Falle einer Variablen im obigen Satz enthalten.
Reviewer: P.Bundschuh

MSC:
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
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Full Text: DOI Crelle EuDML