Volterra integral and functional equations. (English) Zbl 0695.45002

Gripenberg, G.; Londen, S.-O.; Staffans, O.

Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 34. Cambridge etc.: Cambridge University Press. xxii, 701 p. £65.00; $ 99.50 (1990).

In diesem Buch ist die Entwicklung der Volterra-Integral- und - Funktionalgleichungen der letzten 20 Jahre zusammengefaßt, in Zusammenhänge gestellt und unter gemeinsamen Gesichtspunkten behandelt. Im wesentlichen werden - sehr ausführlich und detailliert - die folgenden drei Gebiete dargestellt: Lineare Volterragleichungen, nichtlineare Volterragleichungen, asymptotisches Verhalten von Lösungen.
Wir geben eine ganz kurze Übersicht über die behandelten Themen: Die Kapitel 1 bis 7 sind der Konvolutionsgleichung (mit vektorwertigen Funktionen) \[ x(t)+\int^{t}_{0}k(t-s)x(s)ds=f(t),\quad t\in {\mathbb{R}}^+ \] sowie damit verwandten Gleichungen gewidmet: Existenz, Eindeutigkeit und Eigenschaften von Resolventen, Lösbarkeit mit Hilfe von Resolventen, Integrodifferentialgleichungen, Gleichungen in gewichteten Räumen, Gleichungen mit “vollständig monotonen” Kernen, woraus auf die Lösbarkeit gewisser Volterragleichungen 1. Art geschlossen wird. Im 8. Kapitel wird ein Halbgruppenkonzept für lineare Volterragleichungen entwickelt. Im 9. und 10. Kapitel werden allgemeine lineare Volterragleichungen untersucht: In der Hauptsache wird die Existenz von Resolventen durch Reduzierung auf ein lokales Problem bewiesen.
Nichtlineare Volterragleichungen werden in Kapitel 11 bis 15 behandelt, und zwar zunächst “gestörte” lineare Gleichungen in Kapitel 11. Sätze über die Existenz von Lösungen nichtlinearer Volterragleichungen \[ x(t)+\int^{t}_{0}g(t,s,x(s))ds=f(t),\quad t\in {\mathbb{R}}^+ \] und verwandter Gleichungen in verschiedenen Funktionenklassen sowie unter verschiedenen Voraussetzungen (Stetigkeit bis Carathéodory-Bedingung) an die Funktion g werden im 12. Kapitel mit Hilfe von Fixpunktsätzen gewonnen, sowie Aussagen über “Fortsetzbarkeit” und “Nichtfortsetzbarkeit” von Lösungen. Im 13. Kapitel werden Fragen der stetigen Abhängigkeit der Lösung von Parametern, Differenzierbarkeit nach Parametern, Eindeutigkeitsfragen sowie die Existenz von Maximal- und Minimallösung behandelt. Es schließen sich Untersuchungen der Lösungen auf Beschränktheit und Existenz von Grenzwerten im Unendlichen mit Hilfe von Lyapunov-Techniken im 14. Kapitel an, und Kapitel 15 befaßt sich mit Aussagen über “Limes-Mengen” und “Limes-Funktionen” sowie dem Spektrum von Funktionen, Ergebnisse, die im folgenden gebraucht werden.
Die Kapitel 16 bis 20 gelten detaillierten Untersuchungen des asymptotischen Verhaltens von Lösungen (hauptsächlich Beschränkheit und Verschwinden im Unendlichen) unter verschiedenen Bedingungen an die Kernfunktion mit Hilfe der “frequency domain method” sowie Monotonie- Methoden.
Zur Orientierung des Lesers, insbesondere desjenigen, der sich über spezielle Fragestellungen informieren will, geben die Verfasser im 1. Kapitel eine ausführliche und detaillierte Übersicht, was in den folgenden Kapiteln dargestellt ist. Überdies findet sich am Anfang jedes Kapitels eine ganz kurze Zusammenfassung sowie eine längere Einleitung und am Ende jeweils eine Kommentierung der Ergebnisse sowie eine Auflistung der in dem betreffenden Kapitel behandelten Literatur.

Reviewer: M.Reichert

MSC:

45D05	Volterra integral equations
45-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to integral equations
45J05	Integro-ordinary differential equations
45G10	Other nonlinear integral equations
45M05	Asymptotics of solutions to integral equations
45M10	Stability theory for integral equations

Keywords:

Volterra integral equation; convolution equation; nonlinear integral equations; Volterra functional equation; research survey; asymptotics; integro-differential equation; resolvant; semigroups; limes sets; limes function; frequency domain method