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Sur la cohomologie de certains modules galoisiens p-ramifiés. (On the cohomology of certain p-ramified Galois modules). (French) Zbl 0697.12009
Théorie des nombres, C. R. Conf. Int., Québec/Can. 1987, 740-754 (1989).
[For the entire collection see Zbl 0674.00008.]
L’A. étudie la structure galoisienne du groupe de Galois \(X_ F=Gal(M/F)\) attaché à la pro-p-extension abélienne p-ramifiée maximale M d’un corps de nombres F, et calcule la cohomologie de son sous-groupe de torsion \(T_ F=X_ F^{tor}\) pour l’action du groupe \(G_ n=Gal(F_ n/F_ 0)\) lorsque \(F=F_ n\) est le n-ième étage d’une \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension \(F_{\infty}/F_ 0\). L’isomorphisme obtenu sous la conjecture de Leopoldt \(\hat H^ i(G_ n,T_{F_ n})\simeq \hat H_ i(G_ n,H^{\Gamma_ n})\) fait intervenir le sous- groupe des points fixes par \(\Gamma_ n=Gal(F_{\infty}/F_ n)\) d’un certain invariant H de la théorie d’Iwasawa, qui, dans le cas particulier de la \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension cyclotomique, s’interprète en présence des racines 2p-ièmes de l’unité comme le dual de la limite projective des sous-groupes de capitulation dans \(F_{\infty}/F_ n\) associés aux groupes de p-classes \(C\ell '_{F_ n}\). Dans ce dernier cas, les groupes \(T_{F_ n}\) correspondent aussi, par dualité tordue, aux groupes \(K_{2m}({\mathfrak O}_{F_ n})\), \(m\geq 1\), attachés aux anneaux d’entiers, qui vérifient de ce fait des résultats semblables sous des conjectures standards.
Reviewer: J.-F.Jaulent

MSC:
11R34 Galois cohomology
11R18 Cyclotomic extensions