The number of locally compact group topologies on divisible torsion-free Abelian groups. (Russian) Zbl 0697.22004

Kirku, P. I.

Mat. Issled. 105, 93-104 (1988).

Sei G eine torsionsfreie teilbare abelsche Gruppe. Bekanntlich sind diese Gruppen genau die direkten Summen von \({\mathfrak a}\) Exemplaren der additiven Gruppe \({\mathbb{Q}}\), wo \({\mathfrak a}\) eine beliebige Kardinalzahl ist. Wie viele nicht isomorphe lokalkompakte Gruppentopologien gibt es auf G? In der Arbeit wird die Äquivalenz dieser Frage zu einigen Fragen der reinen Kardinalzahlarithmetik gezeigt (Satz 5). Als Korollar folgt, daß die fragliche Mächtigkeit im Falle \(G=({\mathbb{R}},+)\) gerade \(2^{\aleph_ 0}\) ist. Genauere Ergebnisse erhält der Verf. für die Anzahl der nichtisomorphen kompakten Gruppentopologien. Diese Mächtigkeit ist dieselbe wie die der Lösungsmenge der Gleichung \(2^{{\mathfrak r}}=| G|\), falls \(| G| >2^{\aleph_ 0}\) gilt; im Falle \(| G| =2^{\aleph_ 0}\) kommt hierzu noch ein Summand \(\aleph_ 0\).

Reviewer: P.Flor

MSC:

22D05	General properties and structure of locally compact groups
20K45	Topological methods for abelian groups
54A10	Several topologies on one set (change of topology, comparison of topologies, lattices of topologies)
22A05	Structure of general topological groups

Keywords:

number of locally compact group topologies; torsion-free divisible Abelian group; cardinal arithmetic