×

zbMATH — the first resource for mathematics

Arithmétique des variétés rationelles et problèmes birationnels. (Arithmetic of rational varieties and birational problems). (French) Zbl 0698.14060
Proc. Int. Congr. Math., Berkeley/Calif. 1986, Vol. 1, 641-653 (1987).
[For the entire collection see Zbl 0657.00005.]
From the introduction: Avant d’étudier une equation du type \(a=bx^ p+cy^ q+dz^ r\) avec a,b,c,d\(\in {\mathbb{Q}}\) non nuls et p,q,r entiers naturels tels que \(1/p+1/q+1/r\geq 1\) il est bon de savoir mesurer sa “complexité diophantinenne”. On dispose pour cela d’une classification k-birationnelle des surfaces rationnelles (§1). - Le §2 décrit la méthode de la descente. Ce programme général, développé par J.-J. Sansuc et l’auteur, réduit les problèmes diophantiens ci-dessus à deux questions fondamentales sur des variétés algébriques auxiliaires. Ceci a permis d’établir le principe de Hasse pour essentiellement tout système de deux formes quadratiques en au moins neuf variables. - La K-théorie algébrique a permis de montrer que le groupe de Chow réduit \(A_ 0(X)\) d’une surface rationnelle X définie sur un corps de nombres est un groupe fini (§3). - Le §4 rassemble divers problèmes et résultats que relèvent de la géométrie classique (problèmes de rationalite et de rationalité stable) mais dont les méthodes font appel à des techniques propres au cas où le corps de base n’est pas algébriquement clos (problème de Zariski, problème de Noether, centre de l’algèbre à division générique).
L’article a une bibliographie très détaillé.

MSC:
14M20 Rational and unirational varieties
14G99 Arithmetic problems in algebraic geometry; Diophantine geometry
14E05 Rational and birational maps
68Q25 Analysis of algorithms and problem complexity