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The “moonshine” module [after I. Frenkel, J. Lepowsky and A. Meurman]. (Le module du “moonshine” [d’après I. Frenkel, J. Lepowsky et A. Meurman].) (French) Zbl 0699.20015

Sémin. Bourbaki, 39ème année, Vol. 1986/87, Exp. 684, Astérisque 152/153, 285-303 (1987).
Summary: [For the entire collection see Zbl 0627.00006.]
Inspiré par une remarque numérologique de McKay, Thompson a prévu que le “Monstre” \(M\) (ou groupe sporadique de Griess-Fischer) possède un module gradué ayant des propriétés arithmétiques remarquables: son “caractère gradué” (série dont les coefficients sont les caractères des composantes homogènes) est fourni par certaines formes modulaires très particulières attachées aux classes de conjugaison de \(M\), et que Conway et Norton ont pu déterminer. Un procédé imaginé par Thompson pour montrer “abstraitement” l’existence de ce module a été mis en œuvre par Atkin, Fong et al. (non publié). Par des moyens tout différents (opérateurs de vertex, théorie de Kac-Moody), les auteurs du titre construisent “concrètement” un \(M\)-module gradué \((V_ i)\) dont ils conjecturent que c’est le module cherché; il en possède en tout cas une vertu essentielle: \(\sum \dim V_{- i}\cdot q^ i=j(q)-744\), où \(j\) est l’invariant modulaire. Un sous-produit de leur construction est une approche nouvelle, plus conceptuelle, de la preuve due à Griess de l’existence du “Monstre”.

MSC:

20D08 Simple groups: sporadic groups
17B67 Kac-Moody (super)algebras; extended affine Lie algebras; toroidal Lie algebras
11F22 Relationship to Lie algebras and finite simple groups

Citations:

Zbl 0627.00006
Full Text: Numdam EuDML