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Weakly associative groups. (English) Zbl 0699.20055
Es sei G eine Gruppe und A,B\(\subseteq G\) seien Teilmengen von G. Ist \(G=A\cdot B\), so nenne ich diese Darstellung eine eindeutige Zerlegung von G, wenn für jedes Element \(g\in G\) die Produktdarstellung \(g=a\cdot b\) mit \(a\in A\) und \(b\in B\) eindeutig ist. \(G=A\cdot B\) heißt auch quasidirektes Produkt von A und B. Man sieht sofort, daß direkte und semidirekte Produkte Spezialfälle hiervon sind. Hier werden nun solche eindeutigen Zerlegungen betrachtet, bei denen B eine Gruppe und A eine Teilmenge von G ist mit den Eigenschaften \(A=A^{-1}\), \(bAb^{-1}=A\) für \(\forall b\in B\) und: \(ab=ba\) für \(a\in A\), \(b\in B\Rightarrow b=1_ G.\)
Der Autor nennt solche Zerlegungen exakt. Da für \(a_ 1,a_ 2\in A\) die Darstellung \(a_ 1\cdot a_ 2=a_{12}\cdot b\) eindeutig ist, kann man mittels \(a_ 1*a_ 2:=a_{12}\) die Menge A zu einem Gruppoid (A,*) machen. (A,*) hat interessante Eigenschaften, z.B. erfüllt es ein schwach-assoziatives Gesetz: \[ a_ 1*(a_ 2*a_ 3)=(a_ 1*a_ 2)*t[a_ 1,a_ 2](a_ 3). \] Hierbei ist \(t[a_ 1,a_ 2]\) ein nur von \(a_ 1,a_ 2\) abhängiger Automorphismus des Gruppoids (A,*). Die vom Autor für (A,*) gewählte Bezeichnung: weakly associative group \((=WAG)\) sollte man besser in: weakly associative groupoid umbenennen. Den Anlaß zu diesen Überlegungen gab die bekannte exakte Zerlegung der homogenen orthochromen Lorentzgruppe \(L=B\cdot S\), bei der B die Menge der Boosts und S die Gruppe der räumlichen Drehungen (S\(\simeq SO(3))\) darstellt. Das auf diese Weise erhaltene Gruppoid (B,*) hat sogar noch zusätzliche Eigenschaften: es ist ein Loop und erfüllt ein schwaches Kommutativgesetz. Die auftretenden Automorphismen \(t[a_ 1,a_ 2]\) sind hier dann die Thomas-Rotationen. Es ist interessant zu bemerken, daß (B,*) dieselben Axiome wie die additive Struktur von Fastbereichen erfüllt, die bei der algebraischen Darstellung scharf 2- fach transitiver Permutationsgruppen auftritt.
Reviewer: H.Wefelscheid

MSC:
20N05 Loops, quasigroups
22E43 Structure and representation of the Lorentz group
83C40 Gravitational energy and conservation laws; groups of motions
20B22 Multiply transitive infinite groups
17A99 General nonassociative rings
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References:
[1] M.A. Armstrong, Groups and Symmetry, Springer-Verlag, New York, 1988.
[2] W.A. Baylis and G. Jones, Special relativity with Clifford algebras and 2x2 matrices, and the exact product of two boosts,/. Math. Phys. 29 (1988), 57–62. · Zbl 0709.17501 · doi:10.1063/1.528135
[3] W. Benz, Vorlesungen über der Algebren, Springer-Verlag, New York 1973 · Zbl 0258.50024
[4] R.H. Brück, A Survey of Binary Systems, 2nd ed., Springer-Verlag, New York 1966.
[5] H. Karzel, Inzidenzgruppen I, lecture notes by I. Pieper and K. Sörensen, Univ. Hamburg (1965), 123–135.
[6] H. Karzel, Zusammenhänge zwischen Fastbereichen, scharf 2-fach transitiven Permutationsgruppen und 2-Strukturen mit Rechtecksaxiom, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 32 (1968), 191–206. · Zbl 0162.24101 · doi:10.1007/BF02993128
[7] W. Kerby, Infinite Sharply Multiply Transitive Groups, Hamburger Mathematische Einelschriften, Neue Folge, Heft 6. Vandenhoek und Ruprecht, Göttingen 1974.
[8] W. Kerby and H. Wefelscheid, Bemerkungen über Fastbereiche und scharf 2-fach transitive Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 37 (1971), 20–29. · Zbl 0232.20004 · doi:10.1007/BF02993896
[9] W. Kerby and H. Wefelscheid, Über eine scharf 3-fach transitiven Gruppen zugeordnete algebraische Struktur, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 37 (1972), 225–235. · Zbl 0258.17010 · doi:10.1007/BF02999699
[10] W. Kerby and H. Wefelscheid, Conditions of finiteness in sharply 2-transitive groups, Aequat. Math. 8(1972), 169–172. · Zbl 0248.16024 · doi:10.1007/BF01844504
[11] W. Kerby and H. Wefelscheid, Über eine Klasse von scharf 3-fach transitiven Gruppen, J. reine angew Math. 268/269 (1974), 17–26. · Zbl 0298.20004
[12] W. Kerby and H. Wefelscheid, The maximal subnear-field of a neardomain, J. Algebra, 28, (1974), 319–325. · Zbl 0276.16029 · doi:10.1016/0021-8693(74)90043-X
[13] G. Kist, Theorie der veralegemeinerten kinematischen Räume, Results Math. (Birkhäuser Verlag) 12 (1987), 325–347. · Zbl 0636.51012 · doi:10.1007/BF03322398
[14] N.A. Salingaros, Erratum: The Lorentz group and the Thomas precession. II. Exact results for the product of two boosts, J. Math. Phys. 29 ( 1988), 1265. · doi:10.1063/1.527919
[15] I.N. Sneddon, ed., Encyclopedic Dictionary of Mathematics for Engineers and Applied Scientists, p. 320, Pergamon, New York, 1976.
[16] L.H. Thomas, The motion of the spinning electron, Nature 117 (1926), 514. · doi:10.1038/117514a0
[17] L.H. Thomas, The kinematics of an electron with an axis, Philos. Mag. 3 (1927), 1–22. · JFM 53.0875.07
[18] L.H. Thomas, Recollections of the discovery of the Thomas precessional frequency, AIP Conf Proc. No. 95, High Energy Spin Physics Brookhaven National Lab, ed. G.M. Bunce, (1982), 4–12.
[19] G.E. Uhlenbeck, Fifty years of spin: personal reminiscences, Phys. Today, June (1976), 43–48.
[20] A.A. Ungar, Thomas rotation and the parametrization of the Lorentz transformation group, Found. Phys. Lett. 1 (1988), 57–89. · doi:10.1007/BF00661317
[21] A.A. Ungar, The Thomas rotation formalism underlying a nonassociative group structure for relativistic velocities, Appl. Math. Lett. 1 (1988), 403–405. · Zbl 0706.20047 · doi:10.1016/0893-9659(88)90160-7
[22] A.A. Ungar, Axiomatic approach to the nonassociative group of relativistic velocities, Found. Phys. Lett. 2 (1989), 199–203. · doi:10.1007/BF00696113
[23] A.A. Ungar, The relativistic velocity composition paradox and the Thomas rotation, Found. Phys. 19(1989), 1383–1394. · doi:10.1007/BF00732759
[24] A.A. Ungar, Quasidirect product groups and the Lorentz transformation group, in T.M. Rassias (ed.), Constantin Caratheodory: An International Tribute, World Scientific Pub., NJ, 1991. · Zbl 0746.22009
[25] A.A. Ungar, The relativistic noncommutative nonassociative group of velocities and the Thomas rotation, Results Math. 16(1989), 168–179. · Zbl 0693.20067 · doi:10.1007/BF03322653
[26] H. Wähling, Theorie der Fastkörper, Thaies Verlag, W. Germany, 1987.
[27] H. Wefelscheid, ZT-Subgroups of sharply 3-transitive Groups, Proc. Edinburgh Math. Soc, 23, (1980), 9–14. · Zbl 0441.20004 · doi:10.1017/S0013091500003540
[28] H. Wefelscheid, personal communication.
[29] H.E. Wolfe, Introduction to Non-Euclidean Geometry, p. vi, Dryden Press, New York, 1945.
[30] H. Wussing, The Genesis of the Abstract Group Concept, p. 193(trans, by A. Shenitzer), MIT press, MA, 1984. · Zbl 0547.01001
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