×

zbMATH — the first resource for mathematics

Functions of bounded indices in several variables. (English) Zbl 0699.32004
Une fonction entière f, d’une variable, est d’index borné s’il existe un entier N, tel que \[ \max_{0<k\leq N}| f^{(k)}(z)| /k!\geq | f^{(n)}(z)| /n! \] pour tout n et pour tout \(z\in {\mathbb{C}}\). Pour une fonction de deux (ou plusieures) variables la définition est analogue, avec \[ N=(N_ 1,N_ 2),\quad z=(z_ 1,z_ 2),\quad k=(k_ 1,k_ 2),\quad n!=n_ 1!n_ 2!;\quad \text{ etc.} \] Pour les fonctions de deux variables l’A. donne deux théorèmes. Citons le Théorème 1: Une fonction f(z) est d’indice borné si et seulement si existent une constante \(C>0\) et \(K=(K_ 1,K_ 2)\in I\times I\), tels que pour tout \(z\in {\mathbb{C}}^ 2\), on a \[ \max_{0\leq i\leq K}[| f^{(K_ 1+1,i_ 2)}(z)|,\quad | f^{(i_ 1,K_ 2+1)}(z)|]\leq C\max_{0\leq j\leq K}| f^{(j)}(z)|. \]
Reviewer: M.N.Roşculeţ

MSC:
32A30 Other generalizations of function theory of one complex variable
30D15 Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates
32A15 Entire functions of several complex variables
PDF BibTeX XML Cite