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Long time estimates for the heat kernel associated with a uniformly subelliptic symmetric second order operator. (English) Zbl 0699.35025

Es sei \(a\in C^ 2_ b({\mathbb{R}}^ N;{\mathbb{R}}^ N\otimes {\mathbb{R}}^ N)\) eine symmetrische, nichtnegativ definite matrixwertige Funktion. Für \(u\in C^ 2_ 0({\mathbb{R}}^ N)\) ist \[ {\mathcal L}u(x)=\nabla \cdot a\nabla u(x)=\sum^{N}_{i,j=1}[\partial_{x_ i}(a^{ij}\partial_{x_ j}u)](x) \] gegeben. p(t,x,y) sei die Fundamentallösung für das Cauchy Anfangswertproblem zu \(\partial_ tu={\mathcal L}u.\)
Es wird bewiesen: Ist \({\mathcal L}\) gleichmäßig subelliptisch, so ist für \(t\in [1,\infty)\), p(t,x,y) nach oben und unten durch N- dimensionale Weierstraß Kerne \((\sim \exp (-| y-x|^ 2/\beta t))\) beschränkt. Die hier erhaltenen Abschätzungen basiern auf Vergleichsprinzipien. Die Abschätzungen werden angewandt, um ein globales Harnack Prinzip für nichtnegative Lösungen von \({\mathcal L}u=0\) herzuleiten. Fortführung der Arbeit von E. B. Fabes und dem zweiten Autor [Duke Math. J. 51, 997-1016 (1984; Zbl 0567.35003), und Arch. Ration. Mech. Anal. 96, 327-338 (1986; Zbl 0652.35052)].

MSC:

35B45 A priori estimates in context of PDEs
35A08 Fundamental solutions to PDEs
35K45 Initial value problems for second-order parabolic systems
35B05 Oscillation, zeros of solutions, mean value theorems, etc. in context of PDEs
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