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Sopra un nuovo punto di correlazione fra le forme binaire del quatro grado e le ternaire cubiche. (Italian) JFM 07.0062.02

Die engen Beziehungen, welche zwischen der Theorie der binären biquadratischen Formen \(\varphi\) und derjenigen der ternären cubischen Form \(f\) bestehen, lassen sich insbesondere bei der Darstellung verwerthen, bei welcher man die Variabeln, welche \(f=0\) genügen, ausdrückt als rationale Functionen einer Parameters \(z\) und der Quadratwurzel aus der biquadratischen Form \(\varphi (z)\). Erst neuerdings hat wieder H. Cayley (”A geometr. illustr. of the cubic transformation in elliptic functions”, Quart. J. t. XIII. p. 211, siehe F. d. M. VI. p. 280, JFM 06.0280.01 gezeigt, wie man die Curve \(f = 0\) in eine andere dritter Ordnung leicht so transformiren kann, dass jedem Punkte der ersten ein Punkt der neuen, dieser aber drei Punkte der ersten Curve entsprechen, und dass diese Transformation identisch ist mit der Transformation \(3^{\text{ter}}\) Ordnung der elliptischen Functionen, welche zu \(f=0\) (oder \(\sqrt{\varphi(z)}\)) gehören. Sei die Gleichung für \(f\) \[ f = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 6 l x_1 x_2 x_3 = 0 , \] so ist die Transformation (\(\omega\) eine imaginäre dritte Einheitswurzel): \[ \begin{aligned} y_1 & = \omega^2 x_1^2 + \omega x_2^3 + x_3^3\\ y_2 & = \omega x_1^3 + \omega^2 x_2^3 + x_3^3\\ -2my_3 & = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 ,\\ \text{wo } & m^3 (1 + 8 l^3) + l^3 = 0.\end{aligned} \] H. Brioschi knüpft an diese Arbeit an, um dieselbe durch eine typische Darstellung der biquadratischen Form \(\varphi (z)\) in das Licht zu setzen. Es werden zunächst die die wichtigsten Covarianten der ternären Form \(f\), die vom \(3^{\text{ten}}\), \(6^{\text{ten}}\) und \(9^{\text{ten}}\) Grade, unter der Bedingung \(f=0\) durch die Grösse \(z\) augedrückt (welches der Parameter des Strahlbüschels ist, dessen Scheitel in einem Wendepunkte von \(f=0\) ist). Dabei wird auch die Gleichung \(9^{\text{ten}}\) Grades für die Dreitheilung der zu \(\sqrt {\varphi (z)}\) gehörigen elliptischen Functionen aufgestellt, als das Integral der Differentialgleichung \[ 3 \sqrt {\varphi (\lambda)}\, dz + \sqrt {\varphi (z)}\, d\lambda = 0, \] wo \(\lambda\) die Grösse \( - \frac {6K} {H^2}\), \(H\) und \(K\) die Covarianten \(3^{\text{ten}}\) und \(6^{\text{ten}}\) Grades von \(f\) bedeuten.
Sodann werden aus der transformirten Curve \[ f' = y_1^3 + y_2^3 + y_3^3 + 6 m y_1 y_2 y_3 = 0 \] die Coordinaten ähnlich durch einen Parameter \(v\) und die Wurzel aus einer biquadratischen Form \(\psi (v)\) ausgedrückt, und für die Differentialgleichung der Transformation \[ ld \lambda \sqrt {\psi(v)} + mdv \sqrt {-3} \cdot \sqrt {\varphi (\lambda)} = 0 \] die Integralgleichung sowohl zwischen \(\lambda\) und \(v\), als zwischen \(v\) und \(z\) aufgestellt.

Citations:

JFM 06.0280.01
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