Mémoire sur les groupes primitifs. (French) JFM 07.0073.01

Jordan, C.

Bull. S. M. F. I, 175-221 (1875).

Wählt man aus einer primitiven Gruppe irgend eine Substitution \(A\) von Primzahlordnung, so kann man aus den zu ihr ähnlichen \(A'\), \(A''\cdots\) eine solche Reihe auswählen, dass jedes Glied hinsichtlich des vorhergehenden in jedem Cyclus höchstens ein neues Element enthält. Auf diesen Hülfssatz wird der Beweis des Theorems gestützt, dass eine primitive Gruppe, welche eine Substition von Primzahlordung \(p\) zu \(q\) Cyclen enthält, die alternirende Gruppe umfasst, wenn ihr Grad eine gewisse Grenze \(pq + \varphi(q)\) überschreitet, so oft \(p\) grösser wird als eine gewisse Grenze \(f(q)\). Dem Beweise dieses Satzes und der Bestimmung der Functionen \(\varphi\) und \(f\) ist die Arbeit gewidmet. Es ergiebt sich \[ \varphi(q) \leqq \frac {2q} {\log 2} \log q + 2q, \] während \(f(q)\) grösser als der grösste der drei Werthe \[ 18;\quad 3q+2;\quad \frac {2q} {\log 2} \log q + q + 1 \] ist. Hieraus folgt als Anwendung: Ist \(q\) eine Zahl \(<6\), \(p\) eine Primzahl \(>q\), dann kann der Grad einer primitiven Gruppe \(G\), welche eine Substitution der Ordnung \(p\) von \(q\) Cyclen enthält, nicht grösser sein als \(pq + q + 1\), ohne die alternirende Gruppe zu umfassen.

Reviewer: Netto, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Capitel 3. Elimination und Substitution, Determinanten, Invarianten, Covarianten, symmetrische Funktionen.