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A new theorem on factorials. (Théorème nouveau sur les factorielles.) (French) JFM 07.0084.01

Es seien \(\alpha_1,\,\alpha_2,\dots\alpha_n\) \(n\) ganze Zahlen. Dann giebt es ganzzahlige Factoren, grösser als 1, die zweiten unter ihnen gemeinsam sind, ebenso solche, die dreien, vieren u. s. f. gemeinsam sind. Der Verfasser nennt dann meist gemeinsame Factoren (facteurs le plus communs) diejenigen, welche der grössten möglichen Zahl von \(\alpha\) gemein sind. Die Gesammtheit dieser \(\alpha\) bildet ein primitives Systems \(k^{\text{ter}}\) Ordnung, wenn es unter ihnen \(k\) giebt, die nicht durch einen der meist gemeinsamen Factoren theilbar sind. Hierauf basirend beweist der Verfasser folgenden Satz: Wenn die ganzen Zahlen \(\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n\), deren Summe gleich \(N\) ist, ein primitives System der \(k^{\text{ten}}\) Ordnung bilden, so ist \[ \frac {(N-k)!} {\alpha_1!\,\alpha_2! \dots \alpha_n!} \] eine ganze Zahl.

MSC:

11A05 Multiplicative structure; Euclidean algorithm; greatest common divisors
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