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Extract from a letter to Mr. Borchardt. (Extrait d’une lettre à M. Borchardt.) (French) JFM 07.0131.01
Für die Bernoulli’schen Zahlen haben Clausen und v. Staudt (Crelle J. XXI.) zu gleicher Zeit folgende merkwürdige Relation entdeckt \[ (-1)^n B_n = A_n + \frac 1 2 + \frac 1 \alpha + \frac 1 \beta + \ldots + \frac 1 \lambda , \] in welcher Formel \(A_n\) eine noch zu bestimmende ganze Zahl, und die Nenner \(\alpha, \beta, \gamma \ldots\) sämmtliche Primzahlen von der Beschaffenheit bedeuten, dass \(\frac {\alpha - 1} {2}\), \(\frac {\beta - 1} {2}\)…Theiler von \(n\) sind. Herr Hermite macht nun die Mittheilung, dass die Zahlen \(A_n\) direct aus rekurrenten Entwickelungen berechnet werden können. Bezeichnet \((2n+1)_{p-1}\) den \((p-1)^{\text{ten}}\) Binomial - Coefficienten der \((2n+1)^{\text{ten}}\) Potenz und addirt man zu demselben den \((2p-2)^{\text{ten}}\), \((3p-3)^{\text{ten}}\) u. s. w. Coefficienten derselben Potenz hinzu, so ergiebt sich eine Summe, welche durch \(p\) theilbar ist. Also \[ S_p = \frac 1 p [(2n+1)_{p-1} + (2n+1)_{2p-2} + (2n+1)_{3p-3} + \ldots ] \] Bildet man ferner für alle Primzahlen 3, 5,…\(p\), welche \(\leqq 2n+1\) sind, diese Summe \(S_p\), so gilt die Formel \[ \begin{split} (2n+1)_2 A_1 + (2n+1)_4 A_2 + (2n+1)_6 A_3 + \ldots (2n+1)_{2n} A_n \\ = 1 - n - 2^{2n-1} - S_3 - S_5 \ldots - S_p . \end{split} \] Für \(n = 1, 2, 3, 4\) erhalten wir nach Beseitigung von gemeinschaftlichen Theilern folgende Beziehungen: \[ \begin{aligned} &A_1 = 1 \\ 2 &A_1 + A_2 = -3 \\ 3 &A_1 + 5 A_2 + A_3 = -9 \\ 12 &A_1 + 42 A_2 + 28 A_3 + 3 A_4 = -85, \end{aligned} \] aus welchen \( A_1 = A_2 = A_3 = A_4 = -1\) hervorgeht. Herr Hermite hat die Berechnung bis zur \(9^{\text{ten}}\) Bernoulli’schen Zahl fortgesetzt.

MSC:
11B68 Bernoulli and Euler numbers and polynomials
11B65 Binomial coefficients; factorials; \(q\)-identities
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Full Text: EuDML