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Memoirs on the elliptic functions that correspond to the function \(\cos x + i\sin x\). First memoir. (Mémoires sur les fonctions elliptiques qui correspondent à la fonction \(\cos x + i\sin x\). Premier mémoire.) (French) JFM 07.0279.01

Der Anfang einer Theorie der Functionen \[ \nu_1 (z) = \mu (z) + i\lambda (z), \quad \mu_1 (z) = \nu(z) + ki\lambda(z), \]
\[ \lambda_1 (z) = \frac{\nu (z) +k\mu (z)}{k'}, \] wo \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) die aus der Theorie der elliptischen Functionen (besonders durch das Werk von Briot und Bouquet) bekannte Bedeutung haben. Diese durch lineare Combination der drei bekannten elliptischen Functionen entstandenen neuen Functionen haben dieselben Fudamentaleigenschaften wie die trigonometrische Function \(\cos x + i\sin x\), nämlich eine reciproke Function der conjugirten zu sein, und von ihrer Ableitung sich nur um einen constanten Factor zu unterscheiden. In der bis jetzt vorliegenden ersten Abhandlung werden die Fundamentaleigenschaften der Functionen \(\nu_1(z)\), \(\mu_1(z)\), \(\lambda_1(z)\) entwickelt, ihre Null- und Unendlichkeitswerthe bestimmt, und ihre Reihenentwickelungen nach Produkten, Summen und Kreisfunctionen gegeben. Am Schlusse werden ebenso diejenigen Quotienten je zweier dieser Functionen entwickelt, welche nur Nullwerthe und Unendlichkeitswerthe zweiter Ordnung haben. Eine zweite Abhandlung soll, wie der Herr Verfasser in der Einleitung bemerkt, die Theorie der Addition und der Multiplication dieser Functionen geben. Hier ist der Ausgangspunkt für \(\nu_1 (z)\) eine Formel, die analog der Moivre’schen Formel die Gestalt \[ \cos (z+t) + i\sin (z+t) = \frac{\cos z + i \sin z}{\cos t - i \sin t} \] hat. Gegenstand der dritten Abhandlung wird die Division des Argumentes. Hier wird man auf das Studium der Gleichung \(\nu_1 (z) = 1\) geführt werden, die ähnliche Eigenschaften wie die Gleichung \(x^n = 1\) hat. Die letzte Abhandlung endlich wird die Theilung der einen oder der andern Periode durch 2 und durch eine ungrade Zahl, sowie die inversen Probleme enthalten. Wir behalten uns ein ausführlicheres Referat bis zum vollständigen Erscheinen der neuen Theorie vor.

MSC:

33E05 Elliptic functions and integrals
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Full Text: Numdam EuDML