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The Fourier series and integrals for cylinder functions. (Die Fourier’schen Reihen und Integrale für Cylinderfunctionen.) (German) JFM 07.0301.02
Diese beiden Abhandlungen, die aus dem Nachlasse des der Wissenschaft so früh entrissenen verdienstvollen Mathematikers hier veröffentlicht werden, stammen bereits aus dem Jahre 1869. In der ersteren wird eine Reihe von meist neuen bestimmten Integralen behandelt, in denen Cylinderfunctionen (Bessel’sche Functionen) erster und zweiter Art, \(J^n (x)\) und \(Y^n (x)\) erscheinen (siehe des Verfassers Abhandlung Clebsch Ann. I. 467, F. d. M. II. 257, JFM 02.0257.02). Die betrachteten Integrale haben die Form \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^{n+h} \frac{Y^n (ax) - \pi i J^n (ax)}{(x^2 - r^2)^{m+1}} dx \] und \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^{q+1} J^p (\xi x) \frac{Y^n (ax) - \pi i J^n (ax)}{(x^2 - r^2)^{m+1}} dx. \]
Nach denselben Principien wie diese, können auch Integrale von der Form \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^h e^{axi} \frac{J^n (\xi x)}{(x^2 - r^2)^m} dx \] behandelt werden. Zum Schluss der ersten Abhandlung werden einige Integrale erwähnt, in denen Producte von \(J\)-Functionen mit Potenzen und Exponentialgrössen vorkommen, und welche sich nicht mit den Hülfsmitteln der Integration auf complexen Wegen bestimmen lassen, wohl aber und sehr einfach durch die Substitution der Reihenentwickelung für \(J^n (x)\). Die einfachsten derselben sind diejenigen, die Herr H. Weber (Borchardt J. LXIX. 232) theils unter Anwendung eines besonderen Hülfssatzes, theils durch Doppelintegrale gewonnen hat.
In der zweiten Abhandlung geht der Verfasser aus von den in den meisten, auf einen axial-symmetrischen Zustand bezüglichen, mathematisch-physikalischen Problemen auftretenden Reihen \[ f(x) = \sum_k A_k J^{\circ} (kx), \] wo \(k\) die sämmtlichen Wurzeln der transcendenten Gleichung \(J^{\circ} (ka) = 0\) sind, die schon von Fourier (Théorie de la chaleur, p. 356) angewandt sind, und von den allgemeineren Reihen \[ f(x) = \sum_k A_n J^n (kx), \] wo \(n\) eine beliebige constante ganze Zahl ist und \(k\) die Wurzeln der Gleichung \(J^n (ka) = 0\) sind. Es entsprechen diese letzteren Entwickelungen noch insofern den Fourier’schen Reihen mit Kreisfunctionen, als sie nicht nur für \(analytische\), sondern auch für \(illegitime\) Functionen anwendbar sind, d. h. solche, die nicht durch einen analytischen Ausdruck definirt, sondern zunächst nur für reelle Werthe des Arguments bestimmt sind, unstetig, ohne bestimmten Differentialquotienten sein können, jedenfalls aber für complexe Werthe des Argumentes ihre Bedeutung gänzlich verlieren. Werden mit \(k\) die reellen positiven Wurzeln bezeichnet, so gilt für die Coefficienten der unendlichen Reihe \[ f(\xi) = \varSigma A_k J^n (k\xi), \] in der \(\xi\) nur reelle positive Werthe annehmen soll, die Bestimmung \[ A_k = \frac{2}{[aJ^{n+1} (ka)]^2} \int_0^a xf(x) J^n (kx) dx. \] Reihen dieser Art, die nach Wurzeln einer transcendenten Gleichung fortschreiten, nennt der Verfasser allgemein “Fourier’sche Reihen.” Nun wird im Folgenden eine strenge Untersuchung der Gültigkeit dieser Reihen geführt, wie dies Dirichlet für die Reihen mit Kreisfunctionen gethan hat. Dazu dient das Fourier’sche Integral: \[ f(x) = \int_0^{\infty} yJ^n (y\xi) dy \int_0^{\infty} xf(x) J^n(yx) dx, \] welches in aller Strenge begründet wird. In dieses wird dann die Reihe \[ J^n (y\xi) = \frac 2a J^n (ya) \sum_k^{\infty} \frac{k}{k^2 - y^2} \cdot \frac{J^n(k\xi)}{J^{n+1} (ka)} \] substituirt, deren Rest nach dem \(k^{\text{ten}}\) Gliede durch ein bestimmtes Integral sich darstellen lässt.

MSC:
33C10 Bessel and Airy functions, cylinder functions, \({}_0F_1\)
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References:
[1] Theorie d. Bessel’schen Functionen, Leipzig 1867, p. 24.
[2] Schlömilch, Zeitschr. II. Jahrg., p. 155.
[3] Théorie anal. de la chaleur p. 356.
[4] Vgl. meine Abhandl. in diesen Annalen Bd. I, p. 500.
[5] Crelle’s Journal Bd. 69, p. 82.
[6] S. vorstehende Abhandlung p. 458.
[7] S. diese Annalen Bd. I., p. 500.
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