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Sur la biquadratique sphérique et sur la détermination du plan osculateur en un point de cette courbe. (French) JFM 07.0381.01

Die developpable Oberfläche, welche zu gleicher Zeit einer Kugel und einem gegebenen Kegelschnitt umschrieben ist, berührt die Kugel längs einer Curve, welche der Verfasser eine sphärisch-biquadratische nennt. Sie gehört zu denjenigen Curven, welche bekanntlich Darboux ”sphärische Cycliken” genannt hat, und welche durch dem Schnitt einer Kugel und einer Oberfläche \(2^{\text{ter}}\) Ordnung entstehen. Die berührende developpable Fläche enthält ausser dem gegebenen Kegelschnitt \(k\) noch drei andere Doppellinien \(k_1\), \(k_2\), \(k_3\), welche ebenfalls Kegelschnitte sind. Die 16 Brennpunkte der sphärisch-biquadratischen Curve, von denen nur 4 reell sein können, sind die Schnittpunkte der Kugel mit den vier Doppelkegelschnitten. Je nachdem die 4 reellen Brennpunkte alle auf einem Kegelschnitte oder auf zweien vertheilt liegen, zerfallen die sphärisch-biquadratischen Curven in 2 Hauptklassen. Für jede derselben wird die Construction der Tangenten und Schmiegungsebenen angegebenen. Für diejenigen Curven, deren vier Brennpunkte auf einem und demselben Kegelschnitte liegen, heben wir die Construction der Tangente als besonders einfach hervor. Wenn \(M\) ein Punkt der Kugel und Curve ist, wenn \(F\), \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) die Brennpunkte der letzteren, ferner \(Mt\) und \(Mt'\) diejenigen Geraden sind, in welchen die Ebenen \(MFF_1\) und \(MF_2 F_3\) die an die Kugel im Punkte \(M\) construirte Berührungsebene durchschneiden, so sind die beiden Halbirungslinien des Winkels \(tMt'\) die Tangenten an die beiden im Punkte \(M\) sich rechtwinklig durchkreuzenden Curven. Die Construction der Schmiegungsebene im Punkte \(M\) ergiebt sich aus dem Satze, dass dieselbe durch das harmonische Centrum des Punktes \(M\) in Bezug auf die vier Punkte \(F\), \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) hindurchgehen muss. (Vgl. hierüber eine Abhandlung desselben Verfassers im Bulletin de la Société philomatique 1867: ”Sur la détermination du rayon de courbure des lignes plane.”) Der letztere Satz lässt sich nach dem Herrn Verfasser auch bei den sphärischen Kegelschnitten und denjenigen ebenen Curven, welche die stereographischen Projectionen der sphärisch-biquadratischen sind, bei den anallagmatischen Curven \(4^{\text{ter}}\) Ordnung, zur Construction der Osculationsebene bez. des Krümmungskreises verwenden. Zum Schlusse macht der Verfasser noch eine Bemerkung über die Construction der Hauptkrümmungsradien bei den anallagmatischen Oberfläche \(4^{\text{ter}}\) Ordnung.
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Full Text: Numdam EuDML