On singularities of 4th class curves. (Sur les singularités des courbes de quatrième classe.) (French) JFM 07.0414.02

Laguerre

Liouville J. (3) I, 265-277 (1875).

Der Verfasser nannt zwei binäre Formen gleichen Grades harmonisch, wenn ihre simultane quadratische Invariante, d. h. ihre \(n^{\text{te}}\) Ueberschiebung verschwindet. Wenn man sie binären Formen, welche die gemischten Gleichungen von zwei Curven gleicher Klasse darstellen, harmonisch sein sollen, so muss der in den gemischten Gleichungen auftretende Punkt, dessen Tangentenbüschel nach beiden Curven dann harmonisch sind, auf einer Curve liegen, die die harmonische Curve der beiden gegebenen oder des durch sie bestimmten Büschels heisst. Ist die Gleichung dieser Curve identisch Null, so sollen die beiden Curven ein harmonisches Paar bilden. Mit Hülfe dieses Begriffes werden viele neue Sätze ausgesprochen, unter welchen wir die folgenden hervorheben.
Eine Curve dritter Klasse und ihre Hesse’sche Curve bilden ein harmonisches Paar.
Wenn die Doppelpunkte einer Curve \(4^{\text{ter}}\) Klasse auf einer Curve \(6^{\text{ter}}\) Ordnung gelegen sind, so gehürt sie einem harmonischen Paaran, und umgekehrt. Es muss dann eine Determinante \(15^{\text{ten}}\) Grades der Coefficienten verschwinden.

Reviewer: Lüroth, Prof. (Carlsruhe)

MSC:

51N35	Questions of classical algebraic geometry
14H50	Plane and space curves
14H20	Singularities of curves, local rings

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 2. Analytische Geometrie der Ebene. B. Theorie der algebraischen Curven.

Keywords:

algebraic curves; harmonic binary forma; Hesse’curve; harmonic pairs; of a third class curve; harmonic pairs singularities of curves