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Research of \(n\) dimensional geometry. (Recherches de géométrie à \(n\) dimensions.) (French) JFM 07.0455.04
Untersuchungen projectivischer Eigenschaften höherer algebraischer Gebilde. Zur Orientirung in der Bezeichnung erwähnen wir zunächst, dass der Verfasser eine Mannigfaltigkeit von \((n-i)\) Dimensionen, gelegen in einem ebenen Raum von \(n\) Dimensionen, einen Complex \(i^{\text{ter}}\) Ordnung nennt.
Zuerst handelt es sich um den Schnitt zweier Complexe \(1^{\text{ter}}\) Ordnung, für den Fall, dass ein Theil des Schnittcomplexes vielfach zu zählen ist.
Sodann wird eine analytische Darstellung irgend eines Complexes \(i^{\text{ter}}\) Ordnung geliefert. Sie ist analog der für \(n=3\) bekannten Darstellung einer Raumcurve \(m^{\text{ten}}\) Grades als Schnitt eines Kegels \(m^{\text{ten}}\) Grades mit einer Fläche \(\mu^{\text{ten}}\) Grades, welche den Scheitel des Kegels zum \((\mu - 1)\)-fachen Punkte hat. Für ein allgemeines \(n\) treten, ausser der dem Kegel entsprechenden Gleichung, \((i-1)\) Gleichungen, auf, welche derjenigen der genannten Fläche \(\mu^{\text{ten}}\) Grades analog sind. Dabei wird der Satz von der Anzahl der Schnittpunkte einer Raumcurve mit einer Fläche bewiesen, sowie auch dessen Ausdehnung auf ein beliebiges \(n\) und beliebige Ordnungen der Complexe; das Letztere nicht ganz vollständig.
Es folgt nun für \(n=3\) eine wichtige Anwendung der erwähnten Darstellung einer Raumcurve. Indem nämlich hierzu eine Fläche von möglichst niedrigem Grade \(\mu\) gesucht wird, ergiebt sich der vom Verfasser schon in den C. R. 70 ausgesprochene Satz: “dass die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte einer eingentlichen Raumcurve \(m^{\text{ten}}\) Grades \(\overset{=}> \varrho\) ist, wo \(\varrho\) die grösste in \(\left(\frac{m-1}{2} \right)^{2}\) enthaltene ganze Zahl ist.”
Für die weiteren Anwendungen wird ein Complex der \((n-1)^{\text{ten}}\) Ordnung, in einem Raum von \(n\) Dimensionen (Curve) betrachtet, und als Bilder desselben die Projectionen dieser Curve auf \(n-2\) verschiedene ebene Räume von 3 Dimensionen.
Die Anwendung geht auf ein einfach unendliches System \((S)\) von Curven in einer Ebene. Zwischen den \(n+1\) linear und homogen eingehenden Coefficienten des Systems mögen \(n-1\) Bedingungen bestehen, was sich durch einen Complex \(C(n-1)^{\text{ter}}\) Ordnung bei \(n\) Dimensionen ausdrückt. Es werden die \(n-2\) Bilder von \(C\) und die Bedeutung der scheinbaren Doppelpunkte derselben betrachtet, was zu Theoremen über Curvenpaare aus \((S)\) führt.
Insbesondere ergiebt sich auch durch die am Anfang erwähnte analytische Normalform des Complexes der Chasles’sche Charakteristikensatz für ein System von Kegelschnitten. Und durch die Art des Beweises wird auch weiter angedeutet, dass bei einem Curvensystem \((S)\), für das noch eine weitere Bedingung vorgeschrieben wird, jede Ausschliessung einer bestimmten Familie von Curven, die von selbst dem Problem genügen und als uneigentliche Lösungen angesehen werden, nur zu einer “weiteren Charakteristik” Veranlassug giebt. Den Schluss bilden einige Sätze über Curvensysteme mit 2 Parametern.
MSC:
51N05 Descriptive geometry
51N20 Euclidean analytic geometry
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Full Text: DOI Numdam EuDML