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Preliminary report on the forces which arise, when spherical bodies, while performing dilation and contraction oscillations, move in an incompressible fluidum. (Forelóbigd Meddelelser om de Krofter, der opstaa, naar kugleformige Legemer, idet do idfóre Dilatations- og Kontraktions-Svingninger, bevoge sig i et inkompressibelt Fluidum.) (Norwegian) JFM 07.0587.01

Forh. Christiana. 1875. 386-400 (1875).
Die hier vorligenden “vorläufigen Mittheilungen über die Kräfte, die entstehen, wenn kugelförmige Körper sich in einer incompressiblen Flüssigkeit bewegen, indem sie dabei Dilatations- und Contractionsschwingungen ausführen”, schliessen sich unmittelbar an eine frühere Abhandlung desselben Verfassers an: Sur les mouvements simultanés de corps sphériques variables dans un fluide indéfini et incompressible, die in den Verhandlungen der Wissenschaftsgesellschaft in Christiania für das Jahr 1871 publicirt worden ist (cf. F. d. M. III. 479, JFM 03.0479.01). Gestützt auf den dort aufgestellten Ausdruck für das Geschwindigkeitspotential stellt der Verfasser als eines der Hauptresultate seiner Untersuchungen die Bewegungsgleichungen einer veränderlichen Kugel \(S_g\) auf, die einem System von \(n\) in der Flüssigkeit befindlichen Kugeln angehört. Dabei wird zur Vereinfachung vorausgesetzt, dass die fünften Potenzen der Verhältnisse der Radien zu den Centraldistanzen ausser Betracht gelassen werden können. Die eben erwähnten Gleichungen beziehen sich jedoch nur auf die fortschreitenden Bewegungen der Kugel \(S_g\), nicht zugleich auf deren Volumenänderungen, die vielmehr für die sämmtlichen Kugeln vorgeschrieben sein sollen.
Die Gleichungen sind folgende: \[ \frac{d}{dt} \left( {\mathfrak{M}}_{g} \frac{da_{g}}{dt} \right) = \frac{\partial \varOmega_{g}}{\partial a_g}, \quad \frac{d}{dt} \left( {\mathfrak{M}}_{g} \frac{db_g}{dt} \right) = \frac{\partial \varOmega_{g}}{\partial b_g}, \]
\[ \frac{d}{dt} \left( {\mathfrak{M}}_{g} \frac{dc_{g}}{dt} \right) = \frac{\partial \varOmega_{g}}{\partial c_{g}}, \] wo \[ \varOmega_{g} = \frac{d}{dt} \left( 2\pi qd_{g}^{3} \cdot \sum^{k}{}_g \varphi_{k} \frac{1}{r_{kg}}\right) + 4 \pi q \sum^{k}{}_g \varphi_{k} \varphi_{g} \frac{1}{r_{kg}}, \] und ferner \[ {\mathfrak{M}}_{g} = M_{g} + \tfrac{1}{2}m_{g}, \quad M_{g} = \tfrac{3}{4} \pi q_{g} d_{g}^{3}, \quad m_{g} = \tfrac{3}{4} \pi q d_{g}^{3}. \] In den obigen Gleichungen bezeichnen \(q_{g}\) und \(q\) die Dichtigkeit der Kugel \(S_{g}\) und diejenige der Flüssigkeit; \(a_g, b_g, c_g\) sind in einem rechtwinkligen Coordinatensysteme die Coordinaten des Mittelpunkts \(g\) der Kugel \(S_g, d_g\) ist der Radius derselben Kugel, und \(t\), wie gewöhnlich, die Zeit; \(r_{kg}\) bedeutet den Abstand zwischen den Mittelpunkten \(k\) und \(g\). Index \(g\) an dem Summenzeichen giebt endlich an, dass man \(k\) die Werthe \(1, 2, 3 \ldots n\) mit Ausnahme von \(k=g\) beizulegen habe; \(n\) bezeichnet, wie früher gesagt, die Anzahl der Kugeln des Systems. Die Operation \(\varphi_{k}\), die noch zu definiren bleibt, soll folgendermassen verstanden werden. Es ist \[ \varphi_{k} = \varphi_{k}^{(0)} + \varphi_{k}^{(1)}; \] wo \[ \varphi_{k}^{(0)} = - d_{k}^{2} d_{k}', \quad \varphi_{k}^{(1)} = - \tfrac{1}{2} d_{k}^{3} \left( a_{k}' \frac{\partial}{\partial a_{k}} + b_{k}' \frac{\partial}{\partial b_{k}} + c_{k}' \frac{\partial}{\partial c_{k}} \right). \] Die accentuirten Buchstaben bezeichnen Derivirte in Beziehung auf die Zeit; namentlich ist hiernach \(\varphi_{k}^{(0)}\) nur ein Factor. In Uebereinstimmung mit dem Obigen wird nun die zusammengesetzte Operation \(\varphi_{k} \varphi_{g}\) so definirt: \[ \varphi_{k} \varphi_{g} = \varphi_{k}^{(0)} \varphi_{g}^{(0)} + \varphi_{k}^{(0)} \varphi_{g}^{(1)} + \varphi_{k}^{(1)} \varphi_{g}^{(0)} + \varphi_{k}^{(1)} \varphi_{g}^{(1)}. \] Führt man die Rechnungen aus, so findet man, dass einerseits \[ \varphi_{k}^{(0)} \frac{1}{r_{kg}} = - d_{k}^{2} d_{k}' \cdot \frac{1}{r_{kg}}, \quad \varphi_{k}^{(1)}\frac{1}{r_{kg}} = -\tfrac{1}{2} d_{k}^{3} s_{k}' \cdot \frac{1}{r_{kg}^{2}} \cos \;(s_{k}', r_{kg}), \] andererseits \[ \varphi_{k}^{(0)} \varphi_{g}^{(1)} = d_{k}^{2} d_{k}' \cdot d_{g}^{2} d_{g}' \cdot \frac{1}{r_{kg}}, \]
\[ \varphi_{k}^{(0)} \varphi_{g}^{(1)} = \tfrac{1}{2} d_{k}^{2} d_{k}' \cdot d_{g}^{3} s_{g}' \cdot \frac{1}{r_{kg}^{2}} \cos \;(s_{g}', r_{gk}), \]
\[ \varphi_{k}^{(1)} \varphi_{g}^{(0)} = \tfrac{1}{2} d_{k}^{3} s_{k}' \cdot d_{g}^{2} d_{g}' \cdot \frac{1}{r_{kg}^{2}} \cos \;(s_{k}', r_{kg}), \]
\[ \varphi_{k}^{(1)} \varphi_{g}^{(1)} = \tfrac{1}{4} d_{k}^{3} s_{k}' \cdot d_{g}^{3} s_{g}' \cdot \frac{1}{r_{kg}^{3}}\; (\cos \;(s_{k}', s_{g}') + 3\cos \;(s_{k}', r_{kg})\cos \;(s_{g}', r_{kg})). \] \(s_{g}'\) ist dann die absolute Geschwindigkeit des Mittelpunkts \(g\); \((s_{g}', r_{gk})\) bedeutet den Winkel, welchen die Geschwindigkeitsrichtung in \(g\) mit der von \(g\) gegen \(k\) gerichteten Centrallinie \(r_{gk}\) bildet; \((s_{k}', r_{kg})\) bedeutet ebenso den Winkel, welchen die Geschwindigkeitsrichtung in \(k\) mit \(r_{kg}\) bildet, diese Linie jetzt von \(k\) nach \(g\) gerichtet. Man hat somit auch \[ \cos \;(s_{g}', r_{gk}) = - \cos \;(s_{k}', r_{kg}). \] Wie nun nach dem Vorigen \(M_{g}\) die Masse der Kugel \(S_{g}\) und \(m_{g}\) die Masse der Flüssigkeit bezeichnet, die von der Kugel weggedrängt ist, so stellt \({\mathfrak{M}}_{g}\) eine ideelle, veränderliche Masse vor, die corrigirte Masse derselben Kugel. Wird nun diese Masse statt der urspr\"nglichen genommen, so sind die drei Componenten der totalen Massenacceleration nach den Axen \(X, Y, Z\) \[ \frac{d}{dt} \left( {\mathfrak{M}}_{g} \frac{da_{g}}{dt} \right), \quad \frac{d}{dt} \left( {\mathfrak{M}}_{g} \frac{db_{g}}{dt} \right), \quad \frac{d}{dt} \left( {\mathfrak{M}}_{g} \frac{dc_{g}}{dt} \right), \] und die partiellen Derivirten von \(\varOmega_{g}\) \[ \frac{\partial \varOmega_{g}}{\partial a_g}, \quad \frac{\partial \varOmega_{g}}{\partial b_g}, \quad \frac{\partial \varOmega_{g}}{\partial c_g} \] sind dann die drei Componenten nach denselben Axen einer ideellen, äusseren Kraft, die als wirkend auf die veränderliche Masse \({\mathfrak{M}}_{g}\) betrachtet werden soll.
Unter den Folgerungen, die aus den obigen Gleichungen gezogen werden können, sollen nur aus den obigen Gleichungen gezogen werden können, sollen nur die folgenden hier besonders hervorgehoben werden.
Man hat ein System von einstimmig und entgegengesetzt pulsirenden Kugeln. Zwei Kugeln \(S_{k}\) und \(S_g\) sollen einstimmig pulsirend heissen, wenn ihre Volumina gleichzeitig zu- und abnehmen, sie sollen entgegengesetzt pulsirend genannt werden, wenn das Volumen der einen zunimmt, während dasjenige der andern abnimmt, und umgekehrt. Die Volumenänderungen sollen übrigens in kurzen Perioden vor gehen, und , der Einfachheit wegen, sollen auch die Erweiterungen und Zusammenziehungen der beiden Kugeln, wenn nicht die eine von ihnen unveränderlich bleibt, dasselbe nur durch die Grösse modificirte Gesetz befolgen, so dass \[ \frac{m_{g}'}{m_{g}} = \pm \frac{m_{k}'}{m_{k}}. \] Es soll ferner angenommen werden, dass der Abstand zwischen den Mittelpunkten irgend zwei pulsirender und in dem Flüssigkeitsraume fortschreitender Kugeln \(S_k\) und \(S_g\) im Verhältniss zu den Wegen, die in der Einheit der Zeit von diesen Mittelpunkten beschrieben werden, so gross sei, dass die letzten durch den Kubes desselben Centralabstandes dividirt ausser Betracht gelassen werden können.
Dieses vorausgesetzt, und indem man den Mittelwerth der Kraft in einer ganzen Periode nimmt, – an deren Anfang und Ende sowohl \(m_{k}'\) als \(m_{g}'\) gleich Null ist, – ergiebt sich das folgende Resultat:
Einstimmig pulsirende Kugeln ziehen einander an; entgegengesetzt pulsirende stossen einander ab; in beiden Fällen umgekehrt wie die Quadrate der Abstände.
Wenn dagegen die eine der Kugel ihr Volumen nicht verändert, so ist die mittlere Kraftwirkung auf dieselbe im Laufe der ganzen Periode gleich Null.
Etwas anders und weniger einfach stellt sich das Verhältniss, wenn man allein die halbe Periode betrachtet, an deren Ende die ideellen Massen \(M_{g}\) und \(M_{k}\) noch nicht die anfänglichen Werthe erhalten haben, während doch \(m_{g}'\) und \(m_{k}'\), wie früher am Anfang und Ende des gegebenen Zeitintervalls wieder verschwinden sollen. Die mittlere Wirkung eines anderen Theils der gesammten hier zu berücksichtigenden Kraft wird auch jetzt zum Vorschein kommen, derjenige nämlich, der von dem Theilpotentiale abhängig ist, welches in dem Ausdrucke von \(\varOmega_{g}\) als eine vollständige Derivirte der Zeit hervortritt. Diese Theilkraft bringt eine Oscillation zu Stande, die, nach dem Ablaufe der halben Periode selbst unr halb abgeschlossen wird, und demnach die bezügliche Kugel in eine andere Lage versetzt. Die pulsirenden Kugeln werden also, stets oscillirend, entweder von einander angezogen oder abgestossen, und zwar so, dass die einstimmig pulsirenden entgegengesetzt oscilliren, – gleichzeitig gegen einander und von einander weg, – dass die entgegengesetzt pulsirenden aber einstimmig oscilliren, indem beide nach der einen oder der andern Seite sich bewegen. Es gehen in der That in allen Fällen diese Oscillationen so vor sich, als ob die Kugel, deren Volumen augenblicklich an ihrem Minimum ist, die andere wegzutreiben sucht, und als ob dagegen diejenige, deren Volumen an ihrem Maximum ist, die Bestrebung habe, die andere in ihrer Bewegung nach sich zu ziehen. Dieses tritt übrigens ebensowohl ein, wenn von den beiden nur die eine ihr Volumen periodisch ändert, als wenn sie gleichzeitig einstimmig oder entgegengesetzt pulsiren. Im Weiteren discutirt nun der Verfasser den Fall genauer, wo die beiden Kugeln einstimmig oder entgegengesetzt pulsiren und leitet darüber verschiedene Resultate her, betreffs deren hier auf die Arbeit selbst verschiedene Resultate her, betreffs deren hier auf die Arbeit selbst verwiesen werden muss.
Der Verfasser knüpft hieran noch Betrachtungen darüber, wie jene oscillatorischen Bewegungen experimentell nachgewiesen werden könnten. Diese Betrachtungen übergehen wir hier, als nicht in das Bereich des Jahrbuchs gehörend.

Citations:

JFM 03.0479.01