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Mathematical theory of the experiments by Pinaud about the sounds obtained in heated pipes. (Théorie mathématique des expériences de Pinaud relatives aux sons rendus par les tubes chauffés.) (French) JFM 07.0632.02

Ueber die Resultate der vorliegenden Arbeit ist schon im Band V. p. 535 des Jahrbuchs (JFM 05.0535.03) berichtet nach einem Auszuge in den Comptes rendus. Jener Auszug enthielt nicht über die Ableitung, die in der gegenwärtigen Arbeit in extenso vorliegt. Es handelt sich um die Schwingungen der Luft in zwei aneinandergesetzten cylindrischen Röhren, für welche die bekannte Differentialgleichung \[ \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^2} \] gilt, wo \(\varphi\) das Geschwindigkeitspotential bezeichnet. Die Constante \(a\) kann in beiden Röhren verschiedene Werthe haben. Der Verfasser sucht zunächst, ohne Rücksicht auf den Anfangszustand, ein particuläres Integral von der gewöhnlichen Form: \[ \varphi = [ A \sin \lambda T + B \cos \lambda t] \left\{ P \sin \frac{\lambda x}{a} + Q \cos \frac{\lambda x}{a}\right\}. \] Für die zweite Röhre wird \(\varphi\) durch einen Ausdruck von derselben Form dargestellt, nur dass \(P, Q, a\) andre Werthe haben. Die Constanten \(P, Q, \lambda\) werden so bestimmt, dass 1) an dem geschlossenen Ende der einen (weiteren) Röhre die Geschwindigkeit \(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\) stets = 0 ist, dass 2) an dem Punkte, wo beide Röhren zusammenstossen, die Verdichtung, die proportional \(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\), für beide Röhren gleich ist, und dass die Geschwindigkeiten in beiden Röhren sich an dieser Stelle umgekehrt wie die Querschnitte verhalten, 3) dass am freien Ende der zweiten (engeren) Röhre die Condensation = 0 ist. \(A\) und \(B\) bleiben dabei willkürlich, für \(\lambda\) ergiebt sich die transcendente Gleichung \[ \text{tg}\;\frac{\lambda l}{a} \;\text{tg} \; \frac{\lambda l'}{a'} = \frac{a}{a'} \cdot \frac{S}{S'}, \] worin \(l\) und \(l'\) die Längen, \(S\) und \(S'\) die Querschnitte beider Röhren sind. Unter der Voraussetzung, dass \(\frac{\lambda l}{a}\) und \(\frac{\lambda l'}{a'}\) kleine Grössen, \(a = a'\) ist, ergiebt sich hieraus durch Entwickelung der Tangenten nach Potenzen für die Schwingungszahl folgender Werth: \[ N = \frac{\lambda}{2\pi} = \frac{a}{2\pi} \sqrt{\frac{S'}{Vl'} - \tfrac{1}{3} (l^2 + l^{\prime 2}) \frac{a^2 S^{\prime 2}}{V^2 l^{\prime 2}}}. \] Darin ist \(v = lS\) das Volumen der weiteren Röhre. Vernachlässigt man das zweite Glied unter der Wurzel, so hat man genau die empirische Formel von Sondhaus, und zwar hat auch die Constante \[ \frac{a}{2\pi} = \frac{333}{2\pi} = 52,8 \] einen Werth, der sehr nahe dem von Sondhaus gefundenen Werthe 52,2 gleich ist.
Sind drei Röhren geradlinig an eineander gesetzt, zwei engere an den Enden, eine weitere in der Mitte, so jedoch, dass die beiden engen Röhren offen sind, so ergiebt sich auf dieselbe Weise, unter entsprechender Modification der Grenzbedingungen, als erste Annäherung \[ N = \frac{a}{2\pi} \sqrt{\frac{\frac{S}{l} + \frac{S''}{l''}}{v'}}, \] wo \(S, S'', l, l''\) Querschnitte und Längen der beiden engeren Röhren, \(v'\) das Volumen der mittleren (weiteren) ist. Die Ausdehnung auf eine grössere Zahl von Röhren wird angedeutet.
Endlich wird für den ersten Fall von 2 Röhren auch noch das algemeine Integral der Gleichung für \(\varphi\) als Summe von particulären Integralen der obigen Formen aufgestelt und gezeigt, dass man die willkürlichen Constanten \(A, B\) stets so bestimmen kann, dass für den Anfangszustand die Geschwindigkeit und die Condensation beliebig gegeben sind. Zur Bestimmung dieser Constanten aus dem Anfangszustande dient ein bemerkenswerther Hülfssatz.

MSC:

76Q05 Hydro- and aero-acoustics

Citations:

JFM 05.0535.03
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Full Text: DOI Numdam EuDML