Zur expliziten Berechnung von Ganzheitsbasen in Strahlklassenkörpern über einem imaginär-quadratischen Zahlkörper. (On the explicit calculation of integral bases in ray class fields over an imaginary quadratic number field). (German) Zbl 0701.11059

Schertz, Reinhard

J. Number Theory 34, No. 1, 41-53 (1990).

Für den Ganzheitsring der f-ten Kreiskörper, \(f\in {\mathbb{N}}\), gibt es eine Potenzganzheitsbasis \(O_ f={\mathbb{Z}}[\zeta_ f]\), wobei \(\zeta_ f\) eine primitive f-te Einheitswurzel ist. Das Analogon für einen imaginär-quadratischen Zahlkörper K sind die Erweiterungen H\({\mathfrak f}/H_ 1\), für ein ganzes Ideal \({\mathfrak f}\) in K, wobei H\({\mathfrak f}\) den Strahlklassenkörper modulo \({\mathfrak f}\) über K und \(H_ 1\) den Hilbertschen Klassenkörper bezeichnet.
Mit Hilfe der sogenannten Fueterschen elliptischen Funktionen haben zuerst Ph. Cassou-Noguès und M. J. Taylor [Elliptic Functions and Rings of Integers (Birkhäuser, 1987; Zbl 0608.12013)] relative Potenzganzheitsbasen in einer Klasse von Fällen angegeben. In seiner grundlegenden Arbeit [J. Reine Angew. Math. 398, 105-129 (1989; Zbl 0666.12006)] hat der Verf. Funktionen mit Hilfe normierter Teilwerte der Weierstraßschen \(\wp\)-Funktion definiert, und für eine wesentlich umfassendere Klasse von Erweiterungen, Potenzganzheitsbasen konstruiert.
In der zu referierenden Arbeit hat der Autor alle Konjugierten seiner Funktion über K angegeben und explizite relative Ganzheitsbasen von H\({\mathfrak f}/H_ 1\) konstruiert. Am Ende der Arbeit werden Beispiele berechnet.

Reviewer: J.A.Antoniadis

MSC:

11R37

Class field theory

Keywords:

imaginary quadratic number field; Hilbert class field; integral ideal; normalized values of the Weierstrass \({\mathcal P}\)-function; explicit construction; relative integral basis; ray class fields

Citations:

Zbl 0608.12013; Zbl 0666.12006

References:

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[5]	Ramachandra, Some applications of kroneckers limit formulas, Ann. math., 80, 104-148, (1964) · Zbl 0142.29804
[6]	Schertz, Konstruktion von potenzganzheitsbasen in strahlklassenkörpern über imaginärquadratischen zahlkörpern, J. reine angew. math., 398, 105-129, (1989) · Zbl 0666.12006
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[9]	Weber, ()