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Undergraduate algebraic geometry. (English) Zbl 0701.14001

London Mathematical Society Student Texts, 12. Cambridge (UK) etc.: Cambridge University Press. viii, 129 p. £20.00/hbk; $ 34.50/hbk; £7.50/pbk; $ 12.95/pbk (1988).
Was ist “undergraduate algebraic geometry”? Im Falle des vorliegenden Buches der gelungene Versuch, auf gut 100 Seiten eine elementare Einführung in das fundamentale, technisch komplizierte, hochabstrakte und daher anspruchsvolle Gebiet der Algebraischen Geometrie zu geben, das der Autor selbst “a monolithic block” nennt, which is “colonising adjacent areas of mathematics”. In der Tat, “algebraic geometry was able to absorb practically all the advances made in topology, homological algebra, number theory, etc.”, ganz zu schweigen von Kategorientheorie, Komplexer Analysis, Differentialgeometrie usw. Der Versuch, einen elementaren Zugang zu diesem Gebiet zu finden, scheint daher von vornherein zum Scheitern verurteilt zu sein. Daß er vom Autor dennoch erfolgreich unternommen worden ist, verdient Beachtung. Schon die existierenden, zumeist recht umfangreichen Lehrbücher über “Graduate Algebraic Geometrie” weisen Kompromisse auf, indem z.B. die Stoffauswahl eingeschränkt und/oder die Darstellung teilweise skizzenhaft ist, und “étudier les EGAs” \((=\acute Elements\) de géométrie algébrique, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci.) nach Grothendieck erfordert das Durcharbeiten eines großen Stapels von paperbacks, “many of which still remain to be written up in an approachable way”. Wie hat nun der Autor dieses Problem gelöst? Durch konsequente, exemplarische, dabei klassiche Stoffauswahl und ausführliche Erörterung geschickt ausgewählter Beispiele. Behandelt werden u.a. ebene Kegelschnitte, elliptische Kurven, das Geschlecht von Kurven (recht kurz), affine Varietäten nebst Nullstellensatz, Funktionen auf Varietäten, projektive Varietäten, birationale Äquivalenz, Nicht-Singularität und Dimension. Dabei sind etwa die Ausführungen über Kegelschnitte exemplarisch für beliebige rationale Kurven, werden die kubischen Flächen als Musterbeispiele von rationalen del Pezzo Flächen untersucht und dienen elliptische Kurven als einfachste Beispiele abelscher Varietäten.
Im Hinblick auf den Gegensatz “Computation versus Theory” hat sich der Autor für die Betonung von “Computation” entschieden: “When general theory proves the existence of some construction, then doing it in terms of explicit coordinate expressions is a useful exercise that helps one to keep a grip on reality”. In einem lesenswerten Anhang wird die neueste Entwicklung der Algebraischen Geometrie aufgezeigt und kommentiert. Hier geht der Autor auf die modernen Begriffe ein, indem er z.B. erläutert, inwieweit affine Schemata allgemeiner sind als affine Varietäten. Wünschenswert wäre eventuell noch die Aufnahme der Garbentheorie im Zusammenhang mit rationalen Funktionen auf Varietäten sowie die Behandlung quasiprojektiver Varietäten im Anschluß an die projektiven Varietäten gewesen, aber das hätte wohl den Umfang des Bändchens zu sehr vergrößert. Der Stil des nicht immer leicht lesbaren Buches ist locker und witzig (der Leser findet u.a. psychologische Betreuung, und selbst Expräsident Reagan kommt im Text vor). Selbst wer einen weniger flapsigen Tonfall bevorzugt, wird Gefallen an dieser kleinen, doch inhaltsreichen Monographie finden.
Reviewer: H.G.Zimmer

MSC:

14-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
14Hxx Curves in algebraic geometry
14A10 Varieties and morphisms
14B05 Singularities in algebraic geometry
14Jxx Surfaces and higher-dimensional varieties
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