×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the arithmetic of \(p\)-rational number fields. (Sur l’arithmétique des corps de nombres \(p\)-rationnels.) (French) Zbl 0703.11059
Sémin. Théor. Nombres, Paris/Fr. 1987-88, Prog. Math. 81, 155-200 (1990).
Les auteurs explorent quelques aspects de l’arithmétique des corps p-rationnels, notamment la description de lois de réciprocité non abéliennes, et montrent en particulier que les résultats de A. Fröhlich [Central extensions, Galois groups and ideal class groups of number fields, Contemp. Math. 24 (1983; Zbl 0519.12001)] sur les \(p\)-extensions de classe 2 du corps des rationnels, ainsi que ceux de S. V. Ullom et S. B. Watt [J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 34, 235–244 (1986; Zbl 0571.12005)] sur les corps cyclotomiques réguliers \(\mathbb{Q}[\zeta_p]\), trouvent ici leur cadre naturel. Utilisant l’outil cohomologique, ils montrent qu’une \(p\)-extension \(L/K\) de corps de nombres est \(p\)-rationnelle si et seulement si le corps \(K\) est \(p\)-rationnel et la ramification primitive au sens de G. Gras [J. Number Theory 23, 322–335 (1986; Zbl 0589.12010)].
Ils retrouvent ainsi le résultat de montée pour la \(p\)-régularité établi par G. Gras et le rapporteur [Math. Z. 202, 343–365 (1989; Zbl 0704.11040)], et déjà recontré par H. Miki [J. Number Theory 26, 117–128 (1987; Zbl 0621.12009)] dans un langage différent. Lorsque \(K\) contient \(\mathbb{Q}[\zeta_p]\), en effet, \(p\)-rationnalité et \(p\)-régularité coincident, et la trivialité de la \(p\)-partie du noyau régulier de la \(K\)-théorie justifie l’existence de lois de réciprocité explicites pour les symboles de Hilbert.
Un travail de synthèse, conjugant \(p\)-rationnalité et \(p\)-régularité a été publié par le deuxième auteur et le rapporteur [Sémin. Theor. Nombres, Univ. Bordeaux 1987/88, Exp. No. 10, 26 p. (1988; Zbl 0748.11052)].
[For the entire collection see Zbl 0686.00006.]

MSC:
11R32 Galois theory
11R34 Galois cohomology
11R23 Iwasawa theory