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The ring of integers of an abelian number field. (English) Zbl 0703.11060
L’A. propose une démonstration simple du théorème de la base de Leopoldt pour les anneaux d’entiers des corps abéliens. Dans un article resté justement célèbre, H. W. Leopoldt [J. Reine Angew. Math. 201, 119-149 (1959; Zbl 0098.034)] a montré, en effet, que l’anneau des entiers \(A_ K\) d’un corps de nombres K absolutment abélien est toujours libre sur son ordre associé \({\mathcal O}_ K\) dans l’algèbre de Galois \({\mathbb{Q}}[Gal(K/{\mathbb{Q}})]\), et a construit un élément \(t_ K\) de \(A_ K\) tel qu’on ait \(A_ K={\mathcal O}_ Kt_ K.\)
Observant ici que les composantes de \(t_ K\) sont des traces de racines de l’unité (relativement à certaines sous-extensions d’un corps cyclotomique contenant K), l’A. définit directement un élément t comme somme de telles traces, montre de façon élémentaire qu’il obtient ainsi une \({\mathcal O}_ K\)-base de \(A_ K\), et retrouve ce faisant les principaux résultats de l’article de Leopoldt.
Reviewer: J.-F.Jaulent

MSC:
11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
11R20 Other abelian and metabelian extensions
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Full Text: DOI Crelle EuDML