Variétés riemanniennes isospectrales non isométriques. (Nonisometric isospectral Riemannian manifolds). (French) Zbl 0703.53035

Bérard, Pierre

Sémin. Bourbaki, Vol. 1988/89, 41e année, Exp. No. 705, Astérisque 177-178, 127-154 (1989).

L’article traite de variétés Riemanniennes fermées qui ont le même spectre du Laplacien \(\Delta\) (resp. \(\Delta_ p)\) sur les fonctions (resp. sur les p-formes) c’est-à-dire des variétés isospectrales (resp. p-isospectrales). Dans quels cas sont-elles isométriques? Il s’agit d’un article qui fait la synthèse des recherches récentes sur les points suivants: exemples de variétés isospectrales (resp. p-isospectrales) non isométriques, description de l’ensemble A des structures sur une variété qui ne sont pas caractérisées par leur spectre; en particulier description des déformations à un paramètre dans cet ensemble A.
Plus précisement sont exposés la construction de Sunada, les déformations isospectrales des surfaces de Riemann, celles de DeTurk, Gordon, Wilson, et certains résultats de compacité de l’ensemble A. L’exposé cite plusieurs problèmes ouverts et contient une très importante liste de références bibliographiques.
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Reviewer: R.Michel

MSC:

53C20	Global Riemannian geometry, including pinching
58J50	Spectral problems; spectral geometry; scattering theory on manifolds
53-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to differential geometry

Keywords:

eigenvalue; spectrum; isospectrality