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Interior \(W^{2,p}\) estimates for solutions of the Monge-Ampère equation. (English) Zbl 0704.35044

Es sei \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ n\) eine konvexe Menge, normalisiert mit \(B_ 1\subset \Omega \subset B_ n\), u eine “viscosity solution” von det \(D_{ij}u=f\) mit \(u| \partial \Omega =0\). Dann zeigt der Autor unter anderem: Zu \(p<\infty\) gibt es ein \(\epsilon\) (p), so daß für \(| f-1| \leq \epsilon\) \(u\in W^{2,p}(B_{1/2})\) und \(\| u\|_{W^{2,p}(B_{1/2})}\leq C(\epsilon)\) folgen. Für stetige und strikt positive f folgt \(\| u\|_{W^{2,p}(B_{1/2})}\leq C(p,\sigma)\), wobei \(\sigma\) der Stetigkeitsmodul von f ist. Ferner: Aus \(f\in C^{\alpha}\) folgt \(u\in C^{2\alpha}\). Zum Beweis werden Resultate und Techniken einer früheren Arbeit des Verfassers [Ann. Math., II. Ser. 130, No.1, 189-213 (1989; Zbl 0692.35017)] herangezogen.
Reviewer: R.Leis

MSC:

35J60 Nonlinear elliptic equations
35B45 A priori estimates in context of PDEs
35D10 Regularity of generalized solutions of PDE (MSC2000)

Citations:

Zbl 0692.35017
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