Fichera, Gaetano Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of several complex variables. (English) Zbl 0705.32006 Atti Accad. Naz. Lincei, Mem., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., VIII. Ser., Sez. I 18, 61-83 (1986). Sur une partie \(\Sigma\) de la frontière \(\partial \Omega \in {\mathcal C}^ 1\), d’un domaine borné \(\Omega\) de \({\mathbb{C}}^ n\), on se donne une fonction continue W satisfaisant (au moins au sens faible) les conditions de Cauchy-Riemann tangentielles. Dans le cas \(\Sigma =\partial \Omega\), la solution du problème de Dirichlet dans \(\Omega\) pour la donnée W est holomorphe: l’Auteur le prouve à l’aide d’une formule de saut pour un potentiel de double couche portée par \(\Sigma\), et retrouve ainsi la formule intégrale de Bochner-Martinelli. Lorsque \(\Sigma\) est seulement une partie de \(\partial \Omega\), une fonction \(W\in {\mathcal C}^ 1(\Sigma)\) satisfaisant les conditions de Cauchy- Riemann tangentielles peut ne pas avoir de prolongement continue qui soit holomorphe sur \(\Omega\cap (un\) voisinage d’un point donné \(z_ 0\in \Sigma):\) le théorème classique de Kneser-Lewy donne (pour \(W\in {\mathcal C}^ 2)\) une condition suffisante pour l’existence d’un tel prolongement. L’Auteur propose maintenant une condition suffisante, de nature géométrique (qui a, sur celle de Kneser-Lewy, l’avantage d’être satisfaite si \(\Sigma =\partial \Omega):\) en posant \({\mathbb{C}}^ n={\mathbb{C}}^ q\times {\mathbb{C}}^{n-q}\) avec \(1\leq q\leq n-1\), on suppose qu’il existe des domains bornés A dans \({\mathbb{C}}^ q\), B dans \({\mathbb{C}}^{n-q}\), tels que (1) \(\Sigma =(A\times B)\cap \partial \Omega\); (2) (A\(\times B)\cap \Omega\) et (A\(\times B)\cap C{\bar \Omega}\) sont connexes; (3) \(\forall t\in B\), la coupe \(\{\) \(s\in A:\) (s,t)\(\in {\bar \Omega}\}\) est compacte et, pour un ensemble non vide de t, elle est vide. Cette condition généralise la q-pseudoconvexité, car elle est réalisée en particulier si, \(\Omega\) étant défini au voisinage de \(z_ 0\) par \(\rho >0\) avec \(\rho\in {\mathcal C}^ 2\), la forme de Levi de \(\rho\) au point \(z_ 0\), restreinte à l’hyperplan complexe tangent en \(z_ 0\) à \(\Sigma\), a au moins q valeurs propres \(<0\). Reviewer: M.Hervé Cited in 2 Documents MSC: 32F10 \(q\)-convexity, \(q\)-concavity 32A10 Holomorphic functions of several complex variables Keywords:existence of holomorphic functions PDFBibTeX XMLCite \textit{G. Fichera}, Atti Accad. Naz. Lincei, Mem., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., VIII. Ser., Sez. I 18, 61--83 (1986; Zbl 0705.32006)