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Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of several complex variables. (English) Zbl 0705.32006

Sur une partie \(\Sigma\) de la frontière \(\partial \Omega \in {\mathcal C}^ 1\), d’un domaine borné \(\Omega\) de \({\mathbb{C}}^ n\), on se donne une fonction continue W satisfaisant (au moins au sens faible) les conditions de Cauchy-Riemann tangentielles. Dans le cas \(\Sigma =\partial \Omega\), la solution du problème de Dirichlet dans \(\Omega\) pour la donnée W est holomorphe: l’Auteur le prouve à l’aide d’une formule de saut pour un potentiel de double couche portée par \(\Sigma\), et retrouve ainsi la formule intégrale de Bochner-Martinelli. Lorsque \(\Sigma\) est seulement une partie de \(\partial \Omega\), une fonction \(W\in {\mathcal C}^ 1(\Sigma)\) satisfaisant les conditions de Cauchy- Riemann tangentielles peut ne pas avoir de prolongement continue qui soit holomorphe sur \(\Omega\cap (un\) voisinage d’un point donné \(z_ 0\in \Sigma):\) le théorème classique de Kneser-Lewy donne (pour \(W\in {\mathcal C}^ 2)\) une condition suffisante pour l’existence d’un tel prolongement. L’Auteur propose maintenant une condition suffisante, de nature géométrique (qui a, sur celle de Kneser-Lewy, l’avantage d’être satisfaite si \(\Sigma =\partial \Omega):\) en posant \({\mathbb{C}}^ n={\mathbb{C}}^ q\times {\mathbb{C}}^{n-q}\) avec \(1\leq q\leq n-1\), on suppose qu’il existe des domains bornés A dans \({\mathbb{C}}^ q\), B dans \({\mathbb{C}}^{n-q}\), tels que (1) \(\Sigma =(A\times B)\cap \partial \Omega\); (2) (A\(\times B)\cap \Omega\) et (A\(\times B)\cap C{\bar \Omega}\) sont connexes; (3) \(\forall t\in B\), la coupe \(\{\) \(s\in A:\) (s,t)\(\in {\bar \Omega}\}\) est compacte et, pour un ensemble non vide de t, elle est vide. Cette condition généralise la q-pseudoconvexité, car elle est réalisée en particulier si, \(\Omega\) étant défini au voisinage de \(z_ 0\) par \(\rho >0\) avec \(\rho\in {\mathcal C}^ 2\), la forme de Levi de \(\rho\) au point \(z_ 0\), restreinte à l’hyperplan complexe tangent en \(z_ 0\) à \(\Sigma\), a au moins q valeurs propres \(<0\).
Reviewer: M.Hervé

MSC:

32F10 \(q\)-convexity, \(q\)-concavity
32A10 Holomorphic functions of several complex variables
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