Some remarks about algebraic independence measures in high dimension. (English) Zbl 0706.11038

Amoroso, Francesco

Bull. Soc. Math. Fr. 117, No. 3, 285-295 (1989).

Soit \(P\in {\mathbb{Z}}[X]\) irréductible et \(\omega\in {\mathbb{C}}\), si \(| P(\omega)|\) est suffisamment petit en fonction de \(| \omega |\) et t(P) (la taille de P) il existe une racine \(\alpha\) de P telle que \(| \alpha -\omega | \ll | P(\omega)|.\) L’extension de ce résultat aux idéaux premiers \({\mathfrak p}\) de \({\mathbb{Z}}[X_ 1,...,X_ n]\) (\({\mathfrak p}\cap {\mathbb{Z}}=(0))\) dépend de la nature des singularités de la variété V des zéros de \({\mathfrak p}\) dans \({\mathbb{C}}^ n\). En général, si pour \({\bar \omega}\in {\mathbb{C}}^ n\) la valeur absolue \(\| {\mathfrak p}\|_{{\bar \omega}}\) de \({\mathfrak p}\) en \({\bar \omega}\) est suffisamment petite, il existe \({\bar \alpha}\in V\) tel que: \(| {\bar \alpha}-{\bar \omega}| \ll \| {\mathfrak p}\|_{{\bar \omega}}^{1/\deg {\mathfrak p}}.\)
L’A. montre dans ce texte comment remplacer l’exposant 1/deg \({\mathfrak p}\) par 1 lorsque V est supposée lisse. Cette question intervient de façon cruciale dans le passage entre mesure d’indépendance algébrique (minoration de \(\| {\mathfrak p}\|_{{\bar \omega}})\) et mesure d’approximation (minoration de \(| {\bar \alpha}-{\bar \omega}|)\). Tandis que pour \(n=1\) ce passage est très satisfaisant, il semble loin d’être optimal pour \(n>1\). Dans “Théorie de la multiplicité et formes éliminantes” (soumis à Math. Ann.) l’A. a étendu les considérations du présent texte aux variétés quelconques en isolant la contribution des singularités. Notons que toutes les constantes intervenant dans les estimations ci-dessus sont explicites.

Reviewer: P.Philippon

MSC:

11J85	Algebraic independence; Gel’fond’s method
11J13	Simultaneous homogeneous approximation, linear forms
14J20	Arithmetic ground fields for surfaces or higher-dimensional varieties

Keywords:

algebraic independence measure; approximation measure

References:

[1]	BROWNAWELL (W.D.) . - Bounds for the degrees in the Nullstellensatz , Ann. of Math., t. 126, 1987 , p. 577-591. MR 89b:12001 | Zbl 0641.14001 · Zbl 0641.14001 · doi:10.2307/1971361
[2]	MASSER (D. W.) and WÜSTHOLZ (G.) . - Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions , Invent. Math., t. 72, 1983 , p. 407-464. MR 85g:11060 | Zbl 0516.10027 · Zbl 0516.10027 · doi:10.1007/BF01398396
[3]	NESTERENKO (JU. V.) . - On algebraic independance of algebraic powers of algebraic numbers , Math. USSR Sb., t. 51, 1985 , p. 9-32. Zbl 0566.10027 · Zbl 0566.10027 · doi:10.1070/SM1985v051n02ABEH002868
[4]	PHILIPPON (P.) . - Variétés abéliennes et indépendance algébrique I , Invent. Math., t. 70, 1983 , p. 289-318. MR 85j:11083 | Zbl 0503.10024 · Zbl 0503.10024 · doi:10.1007/BF01391794
[5]	PHILIPPON (P.) . - Critères pour l’indépendance algébrique , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., t. 64, 1986 , p. 5-52. Numdam | MR 88h:11048 | Zbl 0615.10044 · Zbl 0615.10044 · doi:10.1007/BF02699191
[6]	PHILIPPON (P.) . - Sur les mesures d’indépendance algébrique , [Séminaire de Théorie des Nombres, Paris 1983 - 1984 ], Birkhäuser Boston Inc., 1985 . Zbl 0567.10034 · Zbl 0567.10034