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The rational stable homology of mapping class groups of universal nil-manifolds. (L’homologie rationnelle stable des groupes modulaires des variétés nil universelles.) (English. French summary) Zbl 1443.19003

Étant donné des entiers naturels \(r\) et \(c\), soit \(N^r_c\) le groupe nilpotent libre de rang \(r\) et de classe \(c\), c’est-à-dire le plus grand quotient nilpotent de classe \(c\) du groupe libre de rang \(r\). En passant aux groupes d’automorphismes, on dispose de suites de morphismes de groupes \[\cdots\to\mathrm{Aut}(N^r_c)\to\mathrm{Aut}(N^{r-1}_c)\to\cdots\to \mathrm{Aut}(N^r_1)=\mathrm{GL}_r(\mathbb{Z}).\] Le premier théorème principal de l’article montre que ces morphismes induisent des isomorphismes en homologie rationnelle dans le domaine stable, c’est-à-dire lorsque \(r\) est assez grand par rapport à \(c\) et au degré homologique. Ce résultat vaut même à coefficients tordus par un foncteur polynomial (au sens de [S. Eilenberg and S. MacLane, Ann. Math. (2) 60, 49–139 (1954; Zbl 0055.41704)]) sur les groupes abéliens libres de rang fini. Le même énoncé est établi pour la projection de \(\mathrm{Aut}(N^r_c)\) sur le groupe des automorphismes extérieurs \(\mathrm{Out}(N^r_c)\).
Les méthodes utilisées pour démontrer ces théorèmes, une fois admise la stabilité homologique pour les suites de groupes \((\mathrm{Aut}(N^r_c))_{r\in\mathbb{N}}\) (établie dans [M. Szymik, J. \(K\)-Theory 14, No. 1, 185–201 (2014; Zbl 1308.19001)]), sont purement algébriques ; elles reposent sur des dévissages classiques des groupes en question, les suites spectrales de Hochschild-Serre associées, et les profonds résultats d’A. Scorichenko (non publiés, mais présentés par exemple dans [V. Franjou and T. Pirashvili, Panor. Synth. 16, 107–126 (2003; Zbl 1063.19002)]]) reliant homologie stable des groupes linéaires à coefficients polynomiaux et homologie des foncteurs. En effet, rationnellement, l’homologie des (bi)foncteurs polynomiaux sur les groupes abéliens libres de rang fini est concentrée en degré \(0\), ce qui donne de vastes annulations dans les suites spectrales en question. (Comme le note l’auteur, on peut théoriquement utiliser les mêmes méthodes pour l’homologie entière, mais la richesse de l’homologie des foncteurs qui intervient rend hors d’atteinte tout calcul complet, au-delà du très petit degré homologique.)
Ces résultats sont ensuite appliqués dans un contexte plus topologique, pour montrer que différents groupes modulaires de variétés associées aux groupes \(N^r_c\) ont la même homologie rationnelle, dès lors que la dimension de la variété considérée est au moins \(5\) (Theorem 1.4 ou 7.1).

MSC:

19M05 Miscellaneous applications of \(K\)-theory
18A25 Functor categories, comma categories
18G40 Spectral sequences, hypercohomology
20J05 Homological methods in group theory
20E36 Automorphisms of infinite groups
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