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Fonctions entières d’une ou plusieurs variables complexes prenant des valeurs entières sur une progression géométrique. (Entire functions of one or several complex variables with integer values on a geometric progression). (French) Zbl 0709.11038
Fifty years of polynomials, Proc. Conf. in Honour of Alain Durand, Paris/Fr. 1988, Lect. Notes Math. 1415, 123-137 (1990).
[For the entire collection see Zbl 0683.00011.]
G. Polya montrait en 1914 qu’une fonction f entière, d’une variable complexe, vérifiant f(\({\mathbb{N}})\subset {\mathbb{Z}}\), et de croissance limitée par \[ \limsup_{r\to \infty}(\log | f|_ r)/r<\log 2, \] est nécessairement un polynôme. A. O. Gel’fond en 1933, montrait qu’une fonction entière f: \({\mathbb{C}}\to {\mathbb{C}}\), et \(q\geq 2\), entier naturel, si \(f(q^ n)\in {\mathbb{Z}}\) pour tout \(n\in {\mathbb{N}}\) et \[ \log | f| \leq \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\log q}(\log r)^ 2- \frac{1}{2}\log r-\omega (r), \] où \(\omega\) (r)\(\to \infty,r\to \infty\), alors f est un polynôme. L’A. donne dans cette direction, des résultats obtenus jusqu’en 1988.
On donne aussi des résultats recents pour les fonctions de plusieurs variables.
Reviewer: M.N.Roşculeţ

MSC:
11J99 Diophantine approximation, transcendental number theory
30D15 Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates
32A15 Entire functions of several complex variables