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The Lucas property for linear recurrences of second order. (English) Zbl 1439.11010
Summary: Die Lucas-Eigenschaft modulo einer Primzahl \(p\) stellt eine Verbindung her zwischen allen Funktionswerten \(f(n)\) einer Funktion \(f:\mathbb N\to \mathbb N\) und dem Produkt \(f(n_0)f(n_1)\cdots f(n_r)\), wobei die \(n_0,\ldots, n_r\) die Ziffern der \(p\)-adischen Entwicklung von \(n\) sind, nämlich \[ f(n)\equiv f(n_0)f(n_1)\cdots f(n_r) \pmod p \quad (n\ge 1). \] Diese Eigenschaft kommt jeder Exponentialfunktion \(f(n)=c^n\) mit\(c\in \mathbb N\) und jeder Primzahl \(p\) zu. Erstmalig wurde eine solche Beziehung 1878 von E. Lucas für Binomi-alkoeffizienten aufgestellt. In der vorliegenden Arbeit werden Funktionen \(g\) betrachtet, die einer linearen Rekursion zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten genügen. Sollte eine solche Funktion \(g\) die Lucas-Eigenschaft modulo \(p\) noch nicht haben, sofolgen die Autoren einer in der Zahlentheorie gängigen Vorgehensweise, indem sie die auf arithmetischen Progressionen beruhenden Teilfolgen \(f(n):=g(an+b)\) betrachten und charakterisieren, wann \(f\) wieder die Lucas-Eigenschaft modulo \(p\) hat. Dies haben in einer kürzlich erschienenen Arbeit bereits H. Zhong and T. Cai [Int. J. Number Theory 13, No. 6, 1617–1625 (2017; Zbl 1428.11036)] für die Fibonacci-Funktion \(F(n)\) getan. So hat etwa \(f(n)=F(4n+7)\) die Lucas-Eigenschaft modulo 3. In dieser Arbeit wird gleichzeitig das Konzept der Lucas-Eigenschaft von den Primzahlen auf die Carmichael-Zahlen erweitert, die ja bekanntlich eine bedeutende Rollein der Kryptographie spielen.
MSC:
11A07 Congruences; primitive roots; residue systems
11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
11B37 Recurrences
Keywords:
Lucas property
Software:
ARIBAS
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
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[7] H. Zhong and T. Cai, On the Lucas property of linear recurrent sequences, J. Number Theory 13, no. 6 (2017), 1617-1625. · Zbl 1428.11036
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