×

zbMATH — the first resource for mathematics

Quasigroups and loops: introduction. (English) Zbl 0715.20043
Sigma Series in Pure Mathematics, 7. Berlin: Heldermann Verlag. 147 p. (1990).
Das vorliegende Buch soll als einführendes Lehrbuch in die Theorie der Loops und Quasigruppen dienen. Nach R. H. Bruck: A survey of binary systems [Ergebnisse der Math. 20, Springer-Verlag (1958; Zbl 0081.01704)] und V. D. Belousov: Foundations of the theory of quasigroups and loops [Nauka, Moskau (1967; Zbl 0163.018)] ist es das dritte Buch, welches sich dem systematischen Studium von Quasigruppen verschrieben hat. Während Bruck in erster Linie bestrebt ist zu zeigen, daß die Theorie der Loops der Gruppentheorie nachmodelliert werden kann und das Belousovsche Anliegen darin besteht, die Verbindungen der Theorie der Quasigruppen zu Grundlagen der Geometrie herauszustellen, hält das Pflugfeldersche Buch einen mittleren Kurs ein. Dabei muß es sich natürlich bezüglich der Vollständigkeit der beiden Sichtweiten gegenüber seinen beiden Vorgängern bescheiden, um so mehr, als es sich an die Studenten mittleren Semesters als Textbuch wenden will.
Im ersten Kapitel (Quasigroups and loops) behandelt die Verf. Grundbegriffe der Theorie: Unterquasigruppen, Unterloops, Homomorphie und Isomorphie, Kern und Zentrum einer Quasigruppe, die von den Multiplikationen einer Loop erzeugte Gruppe. Einen Abschnitt widmet sie der inversen Eigenschaft der Quasigruppen, einem Begriff, der seit Bruck an Bedeutung gewonnen hat. Das zweite Kapitel (Quasigroups and geometry) stellt die engen Beziehungen der Theorie der Quasigruppen zur Theorie der 3-Gewebe heraus. In diesem Zusammenhang wird auf die Begriffe Isotopie, Parastrophie, Isostrophie eingegangen, und es werden die Beziehungen zwischen Schließungssätzen in Geweben und Identitäten in Quasigruppen diskutiert. Das dritte Kapitel (Isotopy theory for quasigroups) beschäftigt sich mit isotopen Quasigruppen, der Isomorphie ihrer Multiplikationsgruppen, den G-Loops L, das sind solche, für die jede isotope Loop isomorph zu L ist, mit der Gruppe der Autotopismen einer Quasigruppe, mit den Semiautomorphismen und Pseudoautomorphismen einer Loop sowie den Ableitungen einer Quasigruppe. Das vierte Kapitel (Moufang Loops) behandelt die der Assoziativität nächststehenden Standardklassen von Loops: die Moufang-Loops (in denen ja je zwei Elemente eine Untergruppe erzeugen) und Bol-Loops, die immerhin potenz- assoziativ sind. Natürlich ist den kommutativen Moufang-Loops ein Abschnitt gewidmet. Der Behandlung der Isotopie ist auch Raum eingeräumt: So zeigt die Verf., daß jede zu einer Moufang- bzw. Bol-Loop isotope Loop Moufangsch bzw. Bolsch ist. Sie beweist, daß eine Moufang-Loop M genau dann eine G-Loop ist, wenn jedes Element von M Begleiter eines Pseudoautomorphismus ist. Unter den Loops L mit der inversen Eigenschaft sind die Moufang-Loops dadurch charakterisiert, daß jede Loop isotop zu L ebenso die inverse Eigenschaft besitzt. Das letzte Kapitel des Buches (Some classes of quasigroups) ist dem Studium der total symmetrischen, der distributiven und der entropischen Quasigruppen gewidmet. Die total symmetrischen Quasigruppen, in denen jedes Element idempotent ist, entsprechen eineindeutig Steinerschen Tripelsystemen, und jede kommutative Moufang-Loop ist isotop zu einer total symmetrischen Quasigruppe. Über distributive Quasigruppen, die auch in der Gruppentheorie von Bedeutung waren [vgl. B. Fischer: Math. Z. 83, 267-303 (1964; Zbl 0119.26201); J. D. H. Smith, Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 80, 37-41 (1976; Zbl 0338.20098)] beweist die Verf. den zentralen, auf V. D. Belousov [Math. Sb., Nov. Ser. 50, 267-298 (1960; Zbl 0097.010)] zurückgehenden Satz: Jede distributive Quasigruppe ist isotop zu einer kommutativen Moufang-Loop. Die entropischen Quasigruppen (das sind solche, in denen die Identität \((xu)(vy)=(xv)(uy)\) gilt) stehen den distributiven Quasigruppen nahe, denn jede entropische Quasigruppe ist genau dann distributiv, wenn jedes ihrer Elemente idempotent ist.
Das Lesen des Buches verlangt keinerlei speziellere Kenntnisse; die Beweise sind vollständig ausgeführt, und das Verstehen ist unabhängig von anderer Literatur. Wenn sich der Leser des Pflugfelderschen Buches über den aktuellen Stand der Theorie der Quasigruppen und Loops informieren möchte und dabei auch die Verbindungen dieser Theorie zur Analysis, Topologie, Differentialgeometrie, Differentialgleichungen und zu den Liegruppen gewürdigt wissen will, steht ihm ein von der Verf. mitherausgegebenes Buch: O. Chein, H. O. Pflugfelder, J. H. D. Smith: Quasigroups and Loops: Theory and Applications (Heldermann Verlag, Berlin 1990; Zbl 0719.20036), zur Verfügung.
Reviewer: K.Strambach

MSC:
20N05 Loops, quasigroups
20-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to group theory
51A25 Algebraization in linear incidence geometry
05B07 Triple systems
51A20 Configuration theorems in linear incidence geometry
05B05 Combinatorial aspects of block designs
PDF BibTeX XML Cite