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Théories d’algèbres de Boole munies d’idéaux distingués. II. (Theories of Boolean algebras provided with distinguished ideals. II). (French) Zbl 0716.03033
La première partie de cet article [ibid. 52, 1027-1043 (1987; Zbl 0659.03018)] était consacrée à la théorie élémentaire \(T_ X\) des algèbres de Boole munies d’idéaux distingués indéxés dans un ensemble X. On a vu que les idéaux définissables dans un modèle \({\mathcal A}\) de \(T_ X\) forment la sous-algèbre engendrée par les idéaux distingués de l’algèbre de Heyting des idéaux de \({\mathcal A}\) munie de l’opérateur sa défini par \(sa(K)=\{a:\) a/K est sans atome\(\}\), et que la théorie de \({\mathcal A}\) peut être caractérisée par la structure \({\mathcal D}({\mathcal A})\) composée de l’algèbre de Heyting des idéaux définissables munie de l’opérateur sa et des idéaux distingués, et par l’application qui à tout K de \({\mathcal D}({\mathcal A})\) fait correspondre le nombre d’atomes de \({\mathcal A}/K\), pris dans \({\mathbb{N}}\cup \{\infty \}.\)
Nous montrons maintenant que les structures \({\mathcal D}({\mathcal A})\) possibles peuvent être définies de façon axiomatique en introduisant une classe équationnelle d’algèbres de Heyting munies d’une opération unaire, dites sa-algèbres de Heyting (en abrégé sa-AH), et en prouvant que cette classe est constituée des algèbres pouvant être plongées dans l’algèbre de Heyting des idéaux d’une algèbre de Boole, munie de l’opérateur sa. Ainsi les \({\mathcal D}({\mathcal A})\) sont, à isomorphisme près, les sa-AH engendrées par des éléments distingués indéxés dans X; on en déduit une classification des extensions complètes de \(T_ X\) en montrant que les applications qui peuvent être associées à une structure de la forme \({\mathcal D}({\mathcal A})\) pour caractériser la théorie d’un modèle sont déterminées par leur restriction à une partie M(\({\mathcal D}({\mathcal A}))\) définie uniformément, sur laquelle elles prennent des valeurs dans (\({\mathbb{N}}-\{0\})\cup \{\infty \}\), et que réciproquement toute application de M(\({\mathcal D}({\mathcal A}))\) dans (\({\mathbb{N}}-\{0\})\cup \{\infty \}\) est une telle restriction.

MSC:
03C65 Models of other mathematical theories
06E05 Structure theory of Boolean algebras
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References:
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