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On the triangulation of subanalytic morphisms. (Sur la triangulation des morphismes sous-analytiques.) (French) Zbl 0716.32005

Eigenschaften “generischer Art” lassen sich auf der Ebene von differenzierbaren Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten in der Thomschen Sicht durch “Transversalität” erfassen. Im analytischen Spezialfall kann man Transversalität, also “Generisches” i.a. durch Basiswechsel über bestimmte Aufblasprozesse erzielen (Zariski, Hironoka). Solche Prozesse stehen hier auch im singulären Fall von Räumen anstelle von Mannigfaltigkeiten zur Verfügung und geben die Möglichkeit, Abbildungen abzuplatten und damit geometrisch “generisch schön” zu machen (wenn auch die Plattheit von Abbildungen noch nicht voll geometrisch durchschaut ist. Sie hat aber gewisse geometrisch schöne Eigenschaften und ist technisch gut handhabbar). Plattheit in der analytischen Geometrie kann man als einen (schwachen) Ersatz für die Thom-Transversalität mit ihrem Zugriff auf “Generisches” sehen. Diese Sicht (als eine Art Philosophie) führt zu Fragestellungen, z.B.: Eigentliche differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind triangulierbar, sofern sie “generisch” sind (Vermutung von Thom, Beweis von Verona). Die vorliegende Arbeit zeigt, daß etwas Entsprechendes auch in der subanalytischen Kategorie “lokal” richtig ist: Die “generische” Situation wird dabei durch Basiswechsel “lokal” erreicht: nämlich durch endlich-fache lokal Aufblasprozesse (zum Abplatten) über einer kompakten Teilmenge des Bildraumes der eigentlichen Abbildung. Der Satz enthält als Spezialfall bekannte Sätze, z.B. die Triangulierbarkeit subanalytischer Mengen (Hironaka), und ist gewissermaßen der relative Fall dieses Ergebnisses von Hironaka. Sein Beweis benötigt verfeinerte, “relativierende” Varianten von Hironakas (und anderer) Beweistechniken. - Es bleibt das Problem, Thoms Theorie der Transversalität auf Räume mit Singularitäten zu übertragen und wie im Mannigfaltigkeitsfall anzuwenden. Ein Beispiel hierzu findet man bei M. Teufel in: Differenzierbare Strukturen und Jetbündel auf Räumen mit Singularitäten, Dissertation Bochum (1979).
Reviewer: K.Spallek

MSC:

32B20 Semi-analytic sets, subanalytic sets, and generalizations
32B25 Triangulation and topological properties of semi-analytic and subanalytic sets, and related questions
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Full Text: DOI Numdam EuDML

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