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Évolution d’une singularité ponctuelle dans des équations strictement hyperboliques non linéaires. (Evolution of point singularities in nonlinear strictly hyperbolic equations). (French) Zbl 0717.35012

Dans cet article, l’auteur considère le problème suivant: soit u une solution \(H^ s_{loc}(\Omega)\) de l’équation \[ (E)\quad F(x,u,\partial^{\alpha}u)|_{| \alpha | \leq m}=0, \] u réelle, s assez grand, F étant une fonction \(C^{\infty}\) de ses arguments, et \(\Omega\) un ouvert de \({\mathbb{R}}^ n\) dont on note \(x=(x_ 0,x_ 1,...,x_{n-1})=(t,x')\) un point courant. Sous l’hypothèse que les m premières traces de u sur \(H=\Omega \cap (t=0)\), notées respectivement \(\gamma_ ju\) soient très régulières en dehors de l’origine, et que \(\rho =\sum_{| \alpha | =m}\partial F/\partial u_{\alpha}\cdot \xi^{\alpha}\) soit strictement hyperbolique par rapport à \(\tau =\xi_ 0\), on cherche à décrire la régularité de u.
Dans le cadre ci-dessus, l’auteur étend, sans des hypothèses convenables sur la nature de la singularité des traces à l’origine, des résultats obtenus par J. M. Bony [Nato ASI Sér., Ser. C 168, 15-39 (1986; Zbl 0627.35065)] dans le case semi-linéaire.
Reviewer: B.Helffer

MSC:

35B65 Smoothness and regularity of solutions to PDEs
35L75 Higher-order nonlinear hyperbolic equations

Citations:

Zbl 0627.35065
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