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Almost free modules. Set-theoretic methods. (English) Zbl 0718.20027
North-Holland Mathematical Library, 46. Amsterdam etc.: North-Holland. xvi, 481 p. $ 115.50; Dfl. 225.00 (1990).
Das Buch behandelt die moderne Entwicklung der Theorie der torsionsfreien abelschen Gruppen. Das Hauptgewicht liegt dabei auf Resultaten, die nur unter Verwendung von Prinzipien aus der infinitären Kombinatorik beweisbar sind. Die folgenden vier Themen werden abgehandelt:
(1) Fastfreie Moduln,
(2) Die Struktur von Ext(A,B),
(3) Die Struktur von Hom(A,B),
(4) Die Endomorphismenringe End(A).
Wenn \(\kappa\) eine unendliche Kardinalzahl ist, dann heißt eine abelsche Gruppe \(\kappa\)-frei, wenn jede Untergruppe, die mit weniger als \(\kappa\) Elementen erzeugbar ist, frei-abelsch ist. Torsionsfreie abelsche Gruppen sind also \(\aleph_ 0\)-frei. In welchen Mächtigkeiten \(\kappa\) abelsche Gruppen existieren, die \(\kappa\)-frei, aber nicht \(\kappa^+\)-frei sind, hängt weitgehend von den zugrunde gelegten mengentheoretischen Axiomen ab. Unter Verwendung von Gödels Konstruktibilitäts Axiom \(V=L\) wird eine vollständige Antwort gegeben. Es wird auch Shelahs ‘Singular compactness theorem’ bewiesen demzufolge derartige Kardinalzahlen regulär sein müssen. Dies sind in Kürze die Themen von (1).
Im Zentrum des Themenkreises (2) steht das berühmte Problem von J. H. C. Whitehead (1952), ob abelsche Gruppen G mit \(Ext(G,{\mathbb{Z}})=0\) notwendig frei-abelsch sind. Es wird Shelahs Satz bewiesen, daß die Antwort auf der Basis von \(ZF+V=L\) positiv, auf der Basis von \(ZF+MA+\neg CH\) jedoch negativ ist. Die Autoren geben für den ersten Fall einen neuen Beweis, der statt \(V=L\) nur das kombinatorische Prinzip \(\Phi\) (E) (‘weak diamond on E’) benutzt.
Im Themenkreis (3) werden Gruppen der Form \(A^*=Hom(A,{\mathbb{Z}})\) diskutiert. Es wird eine Fülle von Konstruktionsmethoden für solche ‘dualen’ Gruppen gegeben, die reflexiv (d.h. \(A^*\cong A)\), nicht- reflexiv, stark nicht-reflexiv (d.h. \(A^*\not\cong A^{**})\) sind. Fast alle der hier dargestellten Ergebnisse waren bisher noch nicht im Druck erschienen.
Der vierte Themenkreis behandelt die Frage, welche Ringe als Endomorphismenringe bestimmter Klassen abelscher Gruppen auftreten. Unter Verwendung von Shelahs kombinatorischem Prinzip ‘black box’ wird beispielsweise gezeigt, daß es überabzählbare \(\aleph_ 1\)-freie Gruppen G gibt so, daß \(End(G)={\mathbb{Z}}.\)
Wie der Untertitel des Buches sagt, stehen die Anwendungen moderner mengentheoretischer Methoden im Vordergrund. Es handelt sich dabei um Vorhersageprinzipien \((\diamondsuit_ K(E)\), \(\square_ K\), \(\Phi\) (E) sowie ‘black boxes’), kombinatorische Konsequenzen von \(V=L\) (etwa *(\(\kappa\),cf(\(\kappa\)))), Forcing-Axiome (etwa Martins Axiom MA, Proper Forcing Axiom PFA), Axiome über die Existenz großer Kardinalzahlen (etwa schwach kompakte Zahlen etc.) und sogenannte \(\lambda\)-Systeme, die M. Halls Heiratssatz verallgemeinern. Der Begriff der stationären Menge ist hier ein zentraler Begriff. Die fundamentale Bedeutung dieses mengentheoretischen Begriffes für die Algebra läßt sich am besten an der Invariante \(\Gamma\) (M) (Seite 85) ablesen. Die (externe) Forcing Methode kommt jedoch nicht zur Anwendung.
Alle behandelten Themen werden von Grund auf entwickelt. Sogar viele der zur Anwendung kommenden Prinzipien der Mengenlehre werden ausführlich diskutiert und bewiesen (z.B. black boxes, \(V=L\to *(\kappa,cf(\kappa)))\). Das Prinzip \(\diamondsuit\) wird hier natürlich nicht aus \(V=L\) abgeleitet, da ein solcher Beweis den Rahmen des Buches sprengen müßte. Gödels Universum L aller konstruktiblen Mengen wird besprochen, aber leider falsch definiert (statt der ZF-Sprache muß man eine gödelisierte Sprache benutzen [cf. K. Devlin, ‘Constructibility’, Springer-Verlag Berlin (1984; Zbl 0542.03029), pp. 31, 57]. Jedes Kapitel wird mit präzisen historischen Bemerkungen abgerundet. Das Buch schließt mit einer Liste von 30 offenen Problemen.
Diese vorzügliche Monographie kann jedem Algebraiker und jedem Mengentheoretiker nur wärmstens empfohlen werden.

MSC:
20K20 Torsion-free groups, infinite rank
20A15 Applications of logic to group theory
20-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to group theory
03E05 Other combinatorial set theory
16S50 Endomorphism rings; matrix rings
20K30 Automorphisms, homomorphisms, endomorphisms, etc. for abelian groups
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