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Théorie de Galois différentielle et resommation. (Differential Galois theory and resummation.). (French) Zbl 0722.12007

Computer algebra and differential equations, Colloq., Comput. Math. Appl., 117-214 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0702.00010.]
L’article est constitué de trois chapitres: Généralités. Prolongement analytique et sommation. Les fonctions hypergéometriques confluentes. Dans le chapitre 1 on décrit trois points de vue en théorie de Galois différentielle: algébrique (corps et algèbres différentielles, extensions de Picard-Vessiot); topologique (groupe fondamental, revêtements, monodromie); analytique (automorphismes de facteurs fibre déduits du phénomène de Stokes, resommation d’expressions divergentes). Le cas fuchsien est exposé du point de vue classique et du point de vue tannakien. Dans le chapitre 2 on résume la théorie de l’asymptoticité de Gevrey et de la resommation des séries convergentes au sens de Borel (et au sens généralisé de Leroy). Cette théorie est appliquée, à titre d’illustration simple des idées dégagées au chapitre 1, à l’étude détaillée de l’équation différentielle d’Euler. Dans le chapitre 3 on calcule les invariants analytiques des équations hypergéométriques confluentes sous form de Kummer, puis sous forme de Whittaker. On en déduit les invariants analytiques des équations différentielles de Bessel et d’Airy. Ces résultats sont exploitées pour le calcul complet des groupes de Galois différentiels de ces équations.

MSC:

12H05 Differential algebra
33C80 Connections of hypergeometric functions with groups and algebras, and related topics
34B30 Special ordinary differential equations (Mathieu, Hill, Bessel, etc.)
40A25 Approximation to limiting values (summation of series, etc.)

Citations:

Zbl 0702.00010