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Linear forms in p-adic logarithms. II. (English) Zbl 0723.11034
Compos. Math. 74, No. 1, 15-113 (1990); Erratum 76, No. 1-2, 307 (1990).
Voici la suite de l’étude détaillée entreprise par l’A. de la théorie de Baker p-adique quantitative. L’A. y ote la “condition de Kummer” qui encombrait son précédent article [Acta Arith. 53, 107- 186 (1989; Zbl 0699.10050)]. Cette importante amélioration ramène les minorations de formes linéaires de logarithmes p-adiques de nombres algébriques au même degré de sophistication et précision que pour les logarithmes usuels.
Ces deux (gros) textes de Yu constituent une somme incontournable et une mise au point précieuse de la théorie. Un handicap bien connu de cette théorie est le foisonnement des notations et des variantes rendant complexe la simple comparaison des énoncés (sans parler de leurs démonstrations). Ceci fait que l’article est plutôt technique et qu’il serait illusoire d’en espérer faire sentir ici toute la saveur. Je ne peux que recommander aux lecteurs intéressés (spécialistes, utilisateurs de la théorie ou simplement curieux) de se reporter au texte de Yu où les énoncés sont très précis (à défaut d’être simples).
Signalons toutefois qu’un outil essentiel de l’article est le résultat suivant: Si K est un corps, p un nombre premier (on suppose \(-1\in K^ 2\) si \(p=2)\), alors pour que le polynôme \(X^{p^ k}-\lambda \in K[X]\) \((k\in {\mathbb{N}}^*)\) soit irréductible il faut et il suffit que \(\lambda \not\in K^ p\).

MSC:
11J86 Linear forms in logarithms; Baker’s method
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
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Full Text: Numdam EuDML
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