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An idelic approach to the wild kernel. (English) Zbl 0724.11056
Le résultat principal de l’article relie le p-sous-groupe de Sylow du noyau sauvage (ou hilbertien) de la K-théorie au radical kummerien construit sur le noyau des valeurs absolues p-adiques principales dans la \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension cyclotomique \(F_{\infty}/F\) d’un corps de nombres algébriques contenant les racines 2p-ièmes de l’unité, et ce à la lumière des conjectures de Leopoldt et de Gross.
La conjecture de Gross, telle que généralisée par le rapporteur [L’arithmétique des l-extensions. Pub. Math. Fac. Sci. Besançon, Théor. Nombres 1984/85-1985/86, No.1 (1986; Zbl 0601.12002)], affirme que l’application naturelle \(g_ F| \epsilon \mapsto \sum_{{\mathfrak p}| p}Log_ p(| x|_{{\mathfrak p}})\cdot {\mathfrak p}\) induite par le logarithme d’Iwasawa et les valeurs absolues p-adiques (i.e. à valeurs dans \({\mathbb{Z}}_ p)\) envoie le \({\mathbb{Z}}_ p\)-module \({\mathbb{Z}}_ p\otimes_{{\mathbb{Z}}}E'_ F\) construit sur les p-unités avec un indice fini dans la codiagonale du \({\mathbb{Z}}_ p\)-module libre construit sur les places au dessus de p. L’auteur établit ici que le sous-module divisible maximal du noyau des symboles de Hilbert dans le p-radical universel \(({\mathbb{Q}}_ p/{\mathbb{Z}}_ p)\otimes_{{\mathbb{Z}}}F^{\times}\) est exactement le \({\mathbb{Z}}_ p\)-module divisible \(({\mathbb{Q}}_ p/{\mathbb{Z}}_ p)\otimes_{{\mathbb{Z}}_ p}Ker g_ F\) (th. 1.12). Par montée dans la tour cyclotomique, il en déduit que le noyau universel de Tate dans \(({\mathbb{Q}}_ p/{\mathbb{Z}}_ p)\otimes_{{\mathbb{Z}}}F^{\times}_{\infty}\) (i.e. le noyau des symboles à valeurs dans \(K_ 2(F_{\infty}))\) coïncide, sous la conjecture de Gross, avec le \({\mathbb{Z}}_ p\)-module divisible \(({\mathbb{Q}}_ p/{\mathbb{Z}}_ p)\otimes_{{\mathbb{Z}}_ p}Ker g_{F_{\infty}}\) construit sur les normes cyclotomiques, alors qu’il s’identifie, sous la conjecture de Leopoldt, à la limite inductive des radicaux kummeriens attachés aux \({\mathbb{Z}}_ p\)-extensions des étages finis de la tour \(F_{\infty}/F\) comme expliqué ailleurs par le rapporteur [Journées arithmétiques de Marseille (1989); à paraître dans Astérisque].
Enfin, en conclusion, l’auteur généralise aux noyaux sauvages le résultat antérieur de J. Coates sur la p-partie des noyaux modérés dans une \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension cyclotomique qui repose sur des arguments de théorie d’Iwasawa [Ann. Math., II. Ser. 95, 99-116 (1972; Zbl 0245.12005)].

MSC:
11R70 \(K\)-theory of global fields
11R23 Iwasawa theory
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
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