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Picardindex und ganzalgebraische Punkte. (Picard index and integral points). (German) Zbl 0724.14012
Zunächst wird jeder quasiprojektiven Varietät X eine natürliche Zahl, der Picardindex p(X), zugeordnet. Dieser hat Bedeutung für die ganzalgebraischen Punkte: Ist p(X)\(\geq 2n\), so liegen die Punkte \(x\in X\) mit ganzalgebraischen Koordinaten und mit [\({\mathbb{Q}}(x):{\mathbb{Q}}]\leq n\) in einer Hyperfläche von X. Damit ergeben sich Verschärfungen für die Aussagen des Hilbertschen Irreduzibilitätssatzes: Ist \(f(X_ 1,...,X_ m)\) ein in \(X_ 1\) normiertes Polynom mit p(Var(f))\(\geq 2n\), so ist die Menge \(\{(x_ 2,...,x_ m)\in {\mathbb{Z}}^{m-1}\); \(f(X_ 1,x_ 2,...,x_ m)\) hat in \({\mathbb{Q}}[X_ 1]\) einen Faktor vom Grad \(\leq n\}\) nicht Zariski-dicht.
Weiter ergeben sich Aussagen auch für den Fall, daß die ganzalgebraischen Punkte vom \(Grad\quad n\) doch Zariski-dicht in X liegen. Sei dann f eine über \({\mathbb{Q}}\) definierte Funktion auf X und seien \(Y_ u\subset Var(f)\) über \({\mathbb{Q}}\) definierte Untervarietäten. Ist für jede q-elementige Menge \(S\subset X\) stets p(X-\(\cup_{Y_ u\cap S=\emptyset}Y_ u)\geq 2n\), so hat für eine Zariski-dichte Menge von Punkten \(x\in X\) mit [\({\mathbb{Q}}(x):{\mathbb{Q}}]\leq n\) das Ideal (f(x)) im Ring der ganzen Zahlen von \({\mathbb{Q}}(x)\) mindestens \(q+1\) viele verschiedene Primideale. Hiermit folgen Verschärfungen des Hilbertschen Irreduzibilitätssatzes für Einsetzungen, die eine Primzahleigenschaft besitzen.
Zum Abschluß wird noch eine Vermutung von S. Lang verallgemeinert und unter dieser neuen Vermutung gezeigt, daß nicht nur eine Verschärfung der Fermatschen Vermutung für große n folgte, sondern daß sich auch eine genauere funktionentheoretische Charakterisierung der ganzalgebraischen Punkte vom Grad \(\leq n\) ergäbe.

MSC:
14G05 Rational points
14A05 Relevant commutative algebra
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Full Text: DOI EuDML
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