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Collected works. Volume 3: Index theory: 1. Volume 4: Index theory: 2. (English) Zbl 0724.53001
Oxford Science Publications. Oxford: Clarendon Press. xxiii, 593 p./v. 3; xxiii, 617 p./v. 4 £40.00/each vol. (1988).
[Volume 2 (1988), cf. Zbl 0724.55001; volume 5 (1988), cf. Zbl 0691.53003.]
Atiyah hat den beiden Bänden über Indextheorie einen gemeinsamen Kommentar vorangestellt, der in präziser und spannend zu lesender Form die Entwicklung in den gut 20 Jahren seit 1962 darstellt und Ausblicke auf spätere Forschungen (z.B. A. Connes, E. Witten) bringt. Zahlreiche Querverbindungen zu den Arbeiten anderer Mathematiker werden hergestellt. Die etwa 40 Arbeiten über Indextheorie, alle veröffentlichten Arbeiten, aber auch bisher nicht veröffentlichte Ausarbeitungen von Vorträgen und Vorlesungen bilden ein großartiges Panorama. Man findet zum Beispiel die berühmte Serie “The index of elliptic operators I-V” [I \(=\) Ann. Math., II. Ser. 87, 484-530 (1968; Zbl 0164.24001); II \(=\) ibid., 531-545 (1968; Zbl 0164.24201); III \(=\) ibid., 546-604 (1968; Zbl 0164.24301), IV,V \(=\) ibid. 93, 119-138, 139-149 (1971; Zbl 0212.28603)], wobei I und III-V gemeinsam mit I. M. Singer und II gemeinsam mit G. B. Segal verfaßt wurden, die Serie “Spectral asymmetry and Riemannian geometry I-III” [I \(=\) Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 77, 43-69 (1975; Zbl 0297.58008); II \(=\) ibid. 78, 405-432 (1975; Zbl 0314.58016); III \(=\) ibid. 79, 71-99 (1976; Zbl 0325.58015)] mit V. K. Patodi und I. M. Singer und die zahlreichen gemeinsamen Arbeiten mit R. Bott, zum Beispiel “A Lefschetz fixed- point formula for elliptic complexes I-II” [I \(=\) Ann. Math., II. Ser. 86, 374-407 (1967; Zbl 0161.432); II \(=\) ibid. 88, 451-491 (1968; Zbl 0167.217)].
Die aufregende Geschichte beginnt im Frühjahr 1962, als Singer nach Oxford kommt und es klar wird, daß das \(\hat A\)-Geschlecht einer Spin-Mannigfaltigkeit mit dem Dirac-Operator zu tun hat. Dieser aus der Physik stammende Operator mußte aber zunächst neu entdeckt werden “... we were dealing with Riemannian manifolds and not Minkowski space, so that physics seemed far away. In a sense history was repeating itself because Hodge, in developing his theory of harmonic forms, had been strongly motivated by Maxwell’s equations. Singer and I were just going one step further in pursuing the Riemannian version of the Dirac equation. Also, as with Hodge, our starting point was really algebraic geometry.” In der Tat ist nach meinem Satz von Riemann-Roch die holomorphe Eulerzahl für die Garbe der Keime holomorpher Schnitte eines Geradenbündels, dessen Quadrat gleich dem kanonischen Bündel ist, eine rationale Linearkombination von Pontrjaginzahlen, hängt also nur von der differenzierbaren Mannigfaltigkeit ab und wurde zur Definition des \(\hat A\)-Geschlechtes benutzt. Durch die K-Theorie ließ sich gut erklären, warum das \(\hat A\)-Geschlecht einer Spin-Mannigfaltigkeit ganzzahlig ist, aber die Deutung dieser ganzen Zahl blieb ein offenes Problem. “Once we had grasped the significance of spinors and the Dirac equation it became evident that the \(\hat A\)-genus had to be the difference of the dimensions of positive and negative harmonic spinors. Proving this then became our main objective.” Hier liegt die Geburtsstunde der Indextheorie.
Schon auf der Arbeitstagung 1962 erläuterte Atiyah das \(\hat A\)- Geschlecht als Dirac-Index (einen Beweis gab es nocht nicht) und erklärte auch die Signatur als Index. Der allgemeine Indexsatz mit dem \(\hat A\)-Geschlecht als wichtigstem und zentralen Fall wurde im Herbst 1962 von Atiyah und Singer an der Harvard Universität bewiesen. “This was based on the use of boundary value problems and follows the cobordism approach of Hirzebruch’s proof of the signature theorem.” Die erste Arbeit im ersten der beiden Bände über Indextheorie ist die Note im Bull. Am. Math. Soc. 69, 422-433 (1963; Zbl 0118.31203) mit dem Titel “The index of elliptic operators on compact manifolds”, wo der Beweis angedeutet wird und als Anwendungen der Signatursatz, der Satz von Riemann-Roch für komplexe Mannigfaltigkeiten und die Übereinstimmung von \(\hat A\) und Dirac-Index gebracht werden. “I realized at the time the significance of the index theorem and that it represented the high- point of my work, but it would have been hard to predict that the subject would continue to occupy me in various forms for the next twenty years.”
Es ist wunderbar, die Entwicklung dieser 20 Jahre, die sich auch in Atiyahs Vorträgen bei den Arbeitstagungen in Bonn widerspiegelt, in zwei Bänden so übersichtlich vor sich zu haben. Zusammen mit dem Kommentar als Leitfaden hat man ein Kompendium der Indextheorie. Einige sehr exemplarische Bemerkungen zum Inhalt der Bände sollen folgen. Der cobordism proof wurde in dem von R. S. Palais veröffentlichten Seminar, das am Institut for Advanced Study 1963/64 auf Initiative von A. Borel stattfand, detailliert dargestellt. Atiyah schrieb einen Anhang über das Indexproblem für Mannigfaltigkeiten mit Rand, entsprechend einer gemeinsamen Arbeit mit R. Bott. Die oben erwähnten Arbeiten mit R. Bott über die Fixpunktformel (isolierte Fixpunkte) wurden durch eine Vermutung von Shimura und durch Diskussionen auf der Woods Hole Conference 1964 inspiriert. Als Anwendungen der Fixpunktformel im holomorphen Fall ergaben sich Hermann Weyls Charakterformel (\(T\) operiert auf \(G/T\) mit Fixpunkten, die den Elementen der Weylschen Gruppe entsprechen) und Sätze zur Klassifikation der Linsenräume. Die oben erwähnte Serie von fünf Arbeiten (The index of elliptic operators) bringt zunächst einen Beweis für den Indexsatz durch Einbettung in den Euklidischen Raum und “direct image construction”, analog zu Grothendiecks Riemann-Roch-Satz im Falle einer Einbettung. Der Indexsatz konnte völlig innerhalb der K-Theorie (ohne rationale Kohomologie) formuliert und bewiesen werden. Der Fixpunktsatz läßt jetzt höherdimensionale Fixpunktmengen zu (alles Untermannigfaltigkeiten, da die Abbildungen Isometrien sind). Die von G. Segal in seiner Dissertation bei Atiyah entwickelte äquivariante K-Theorie spielt eine große Rolle. Der Indexsatz für Familien ist wieder nahe beim Grothendieck- Riemann-Roch Satz. Schließlich enthält die letzte Arbeit der Serie mod 2 Indexsätze, was 1969 mit Singer zu einem neuen Beweis der Bottschen Periodizität im reellen Fall führte.
Eine Anwendung des Atiyah-Bott-Singerschen Fixpunktsatzes ist unser Resultat (1970), daß das \(\hat A\)-Geschlecht für eine Spin- Mannigfaltigkeit mit nichttrivialer \(S^ 1\)-Aktion verschwindet, was heute in den größeren Zusammenhang der elliptischen Geschlechter (Ochanine, Landweber, Strong, Witten) eingegliedert ist. Der zweite Band beginnt mit der Arbeit (mit R. Bott und V. K. Patodi) “On the heat equation and the index theorem” aus dem Jahre 1973 [Invent. Math. 19, 279-330 (1973; Zbl 0257.58008)] und fährt dann fort mit der oben erwähnten Serie über spektrale Asymmetrie mit Patodi und Singer. “In many ways the papers on spectral asymmetry were perhaps the most satisfying ones I was involved with. The way they stretched over differential geometry, topology, and analysis with a nod in the direction of number theory appealed greatly to me... In particular Witten’s work on global anomalies brought our \(\eta\)-invariant into prominence, in a way which we could never have foreseen.” Auch für mich war die \(\eta\)- Invariante “appealing”, hing sie doch mit den Spitzensingularitäten der Hilbertschen Modulmannigfaltigkeiten zusammen. Für reell-quadratischen Körper konnten bei mir auftretende Formeln, die auf Curt Meyer zurückgingen, erneut bewiesen werden, aber erst 1982/83 gelang es Atiyah, gemeinsam mit H. Donnelly und I. M. Singer entsprechende Vermutungen allgemein für total-reelle Körper zu beweisen [Eta invariants, signature defects of cusps and values of L- functions, Ann. Math., II. Ser. 118, 131-177 (1983; Zbl 0531.58048)]. Unabhängig bewies auch Werner Müller diese Vermutungen.
Wie gesagt, der Inhalt dieser beiden Bände, von denen man sich glücklich schätzen kann, sie im Bücherregal zu haben, kann nur exemplarisch angedeutet werden. Noch ein Beispiel zum Abschluß. Die gemeinsame Arbeit mit W. Schmid “A geometric construction of the discrete series for semisimple Lie groups” [Invent. Math. 42, 1-62 (1977; Zbl 0373.22001)] soll erwähnt werden. “Analytically our proof of the existence of the discrete series rests on the \(L^ 2\)-index theorem, which gives a suitable generalization to noncompact manifolds of the Atiyah-Singer index theorem.” Die Beweisführung ist analog zum Satz von Borel-Weil über die Realisierung der Darstellungen einer kompakten Lieschen Gruppe \(G\) in “Riemann-Roch-Räumen” bezüglich \(G/T\).

MSC:
53-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to differential geometry
53-03 History of differential geometry
58-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to global analysis
58-03 History of global analysis
57-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to manifolds and cell complexes
57-03 History of manifolds and cell complexes
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
14-03 History of algebraic geometry
01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics
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