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Collected works. Volume 2: \(K\)-Theory. (English) Zbl 0724.55001
Oxford Science Publications. Oxford: Clarendon Press. xxiii, 829 p. £45.00 (1988).
Die Bände II bis V der Gesammelten Werke von Atiyah sind den drei Forschungsrichtungen K-Theorie, Indextheorie (2 Bände), Eichtheorie entsprechend eingeteilt, deren Begründung und Entwicklung zum großen Teil Atiyah zu verdanken ist. Der vorliegende Band über K- Theorie ist für alle Mathematiker, die den Aufbau der Theorie, ihre historische Entwicklung, die aufregenden Anwendungen (z.B. zur Hopfschen Invarianten) und die sich seit 1962 anbahnenden Beziehungen zur Indextheorie studieren wollen, unentbehrlich. Auch das erste Lehrbuch über K-Theorie (Benjamin 1967), das aus Atiyahs Vorlesungen an der Harvard Universität im Herbst 1964 hervorgegangen ist, wurde vollständig in diesem Band abgedruckt. Atiyah hat dem Band einen Kommentar vorangestellt, der spannend zu lesen ist und das beste Referat über den Band wäre. Der Kommentar hat zwei Teile (Early Papers 1959- 62 und Later Papers 1964-72). Zu den 15 früheren Arbeiten gehören 8 gemeinsame Arbeiten mit mir. Bis auf die Arbeit “Spin manifolds and group actions”, die sich im Band Index Theory 1 befindet, sind das alle gemeinsamen Arbeiten.
Atiyah weist zu Beginn seines Kommentars auf die Arbeitstagung hin. In der Tat haben wir bei der ersten Arbeitstagung 1957 viele Stunden lang Vorträge von Grothendieck gehört. Seine Vortragsserie füllte die Vormittage vom 15. bis 17. Juli aus. Sie trug den Titel “Kohärente Garben und verallgemeinerte Riemann-Roch-Hirzebruch-Formel auf algebraischen Mannigfaltigkeiten”. Im Rahmen der algebraischen Geometrie wurde hier der Grothendieck-Ring \(K^ 0(X)\) mit Hilfe algebraischer Vektorbündel über der Varietät X eingeführt und der \(K^ 0(X)\)-Modul \(K_ 0(X)\) mit Hilfe kohärenter Garben. Dies sind kontravariante bzw. kovariante Funktoren, und die Isomorphie \(K^ 0(X)\simeq K_ 0(X)\) ist analog zur Poincaréschen Dualität. Grothendieck führte Operationen auf \(K^ 0(X)\) ein, die auf den Standard-Konstruktionen der multilinearen Algebra für Vektorräume basierten. All dies lernten wir 1957 auf der Arbeitstagung. Etwas später kam die Bottsche Periodizität hinzu. Atiyah schreibt: “Moreover the Bott periodicity theorem fitted in with the Grothendieck formalism, so that one could draw genuine topological conclusions. It was this which convinced me that a topological version of Grothendieck’s K-theory, based on the Bott periodicity would be a powerful tool in algebraic topology.” Für Atiyah war die gemeinsame Arbeit mit Todd “On complex Stiefel manifolds” ein erster Test für die Kraft der topologischen K-Theorie. Allerdings “übersetzte” die K-Theorie das Problem von James in ein rein algebraisches Problem, das besonders schwierig war. So wie der Satz von Riemann-Roch, schon bevor ich ihn beweisen konnte, zu Ganzzahligkeitssätzen für charakteristische Zahlen führte, hat auch der Satz von Riemann-Roch-Grothendieck topologische Analoga. In diese Richtung gingen unsere Arbeiten zusammen mit Anwendungen auf homogene Räume und klassifizierende Räume. Eine zusammenfassende Darstellung ist die gemeinsame Arbeit “Vector bundles and homogeneous spaces” [Proc. Symp. Pure Math. 3, 7-38 (1961; Zbl 0108.17705)], wo die K-Theorie als “periodische Kohomologie-Theorie” vorgestellt wird, die mit der üblichen ganzzahligen Kohomologie durch eine Spektralsequenz verbunden ist. Zu den Anwendungen gehört die Beziehung von \(K(B_ G)\), wo \(B_ G\) der klassifizierende Raum einer kompakten zusammenhängenden Lieschen Gruppe \(G\) ist, zum Darstellungsring \(R(G)\), was Atiyah dann auch entsprechend für endliche Gruppen (1961) und gemeinsam mit G. Segal [Equivariant K-theory and completion, J. Differ. Geom. 3, 1-18 (1969; Zbl 0215.24403)] für beliebige kompakte Liesche Gruppen durchführte, wobei die Arbeit mit G. Segal schon zu den “Later Papers” gehört, als die in Segals Dissertation entwickelte äquivariante K-Theorie zur Verfügung stand.
Noch einige Bemerkungen zu den “Early Papers”: Das Analogon des Grothendieck-Riemann-Rochschen Satzes liefert für eine differenzierbare Abbildung \(f:X\to Y\) differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, falls \(Y=Punkt\) und X eine Spin-Mannigfaltigkeit ist, die Ganzzahligkeit des \(\hat A\)-Geschlechtes \(\hat A(X)\) mit der Verschärfung “\(\hat A(X)\) gerade” für dim \(X\equiv 4 mod 8\). Im Grunde konstruiert man aus einer Einbettung von X in eine Sphäre mit Hilfe der formalen Differenz der beiden Spinor-Darstellungen angewandt auf das Normalbündel von \(X\) ein Vektorbündel über die Sphäre und wendet dann die Bottsche Periodizität an. Das konstruierte Bündel ist in der K-Theorie der Sphäre gleich \(\hat A(X)\) mal einem erzeugenden Element. Hier sah man (einige Jahre später) die Beziehung zur Indextheorie, insbesondere zum Symbol des Dirac-Operators. Instabile Versionen des differenzierbaren Riemann-Roch erhält man, wenn man in der obigen Konstruktion die Differenz der Spinor-Bündel mit ihrer Summe tensoriert, was gleich der Differenz zweier mit Hilfe der äußeren Potenzen definierten S0-Darstellungen ist. In der gemeinsamen Arbeit [Quelques théorèmes de non-plongement pour les variétés différentiables, Bull. Soc. Math. Fr. 87, 383-396 (1959; Zbl 0196.55903)] wird diese Idee angewandt. Interessante Resultate über Nicht-Einbettbarkeit einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit können sich hier nur ergeben, wenn die differenzierbare Mannigfaltigkeit genügend viel rationale Kohomologie hat. Atiyah gelingt es aber mit Hilfe der reellen K-Theorie auch die reellen projektiven Räume zu behandeln [Immersions and embeddings of manifolds, Topology 1, 125-132 (1962; Zbl 0109.41101)]. Er befindet sich hier in der Nähe der Arbeiten von Adams über Vektorfelder auf Sphären. Diesen reichhaltigen Band über K-Theorie kann ich natürlich nur exemplarisch charakterisieren. Insbesondere muß ich mich beim Bericht über die “Later Papers” kurz fassen und auf drei Höhepunkte beschränken.
Die Natur der Bottschen Periodizität wurde klar herausgearbeitet. In der gemeinsamen Arbeit mit R. Bott [On the periodicity theorem for complex vector bundles, Acta Math. 112, 229-247 (1964; Zbl 0131.38201)] führt die Fourier-Cesàro-Approximation der Verklebungsfunktion eines komplexen Vektorbündels über \(X\times S^ 2\) zu einem elementaren Beweis der Bottschen Periodizität. Über spätere Arbeiten zur Periodizität (1968/69) schreibt Atiyah: “The interplay between index theory and K-theory at this time was very extensive and... I gave what I considered definite treatments of this relationship. In the course of developing this I was extremely surprised to find the proof of the periodicity theorem disintegrating into formalities... It was in this respect somewhat reminiscent of Quillen’s miraculous treatment of complex cobordism.”
Die Adams-Operation \(\psi^ k: K(X)\to K(X)\) ersetzt auf dem Niveau der Chernschen Charaktere \(\sum e^{x_ i}\) durch \(\sum e^{kx_ i}\), was schon in unserer Arbeit über “non-plongement” vorkam. Atiyah findet den berühmten Postkarten-Beweis für die Nichtexistenz von Abbildungen mit der Hopfschen Invariante 1. Für einen Komplex mit einer 0-Zelle, einer 2n-Zelle und einer 4n-Zelle rechnet er die Operation \(\psi^ 6\) als \(\psi^ 2\cdot \psi^ 3\) und als \(\psi^ 3\cdot \psi^ 2\) aus und vergleicht die Ergebnisse. In dem Buch über K-Theorie (S. 574 dieses Bandes) findet man den Beweis in 8 Zeilen. Die Arbeit mit Adams (K-theory and the Hopf invariant) bringt neue Resultate hinsichtlich ungerader Primzahlen \(p\) und der \(p\)-ten Cup-Potenz unter Verwendung der Adams- Operationen.
Zuletzt sollen die Arbeiten über Vektorfelder, insbesondere die Arbeit mit L. Dupont [Vector fields with finite singularities, Acta Math. 128, 1-40 (1972; Zbl 0233.57010)], erwähnt werden. Ein Vektorfeld auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(X\) hat im allgemeinen 0-dimensionale Singularitäten. Man kommt zur Eulerschen Klasse und zum Satz von Hopf. Ein \(r\)-Tupel von Vektorfeldern hat “im allgemeinen” \((r-1)\)-dimensionale Singularitäten, und man kommt zur Stiefel-Whitney-Klasse \(w_{n-r+1}\in H^{n-r+1}\) \((X,{\mathbb{Z}}_ 2)\). Hat das \(r\)-Feld 0-dimensionale Singularitäten, muß, wenn man die üblichen Methoden anwendet, das Verschwinden höherer Hindernisse betrachtet werden. \(K\)-theoretische und Index-theoretische Methoden vermeiden die Homotopietheorie und ergeben zum Beispiel die Teilbarkeit der Signatur durch Potenzen von 2, wenn ein \(r\)-Feld überall linear-unabhängiger Vektoren existiert. Atiyah kommentiert: “These papers straddle the K- theory/index theory frontier in a fundamental way. In particular, they use rather refined index theorems for real operators where the indices are integers modulo higher powers of 2.”

MSC:
55-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic topology
55-03 History of algebraic topology
01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics
16E20 Grothendieck groups, \(K\)-theory, etc.
18F25 Algebraic \(K\)-theory and \(L\)-theory (category-theoretic aspects)
19-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to \(K\)-theory
19-03 History of \(K\)-theory
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