Sur des hauteurs alternatives. I. (On alternative heights. I). (French) Zbl 0726.14017

Philippon, Patrice

Math. Ann. 289, No. 2, 255-283 (1991).

On a introduit, en théorie des nombres transcendants, une notion de hauteur pour les variétés projectives définies sur \({\bar\mathbb{Q}}\). Cette hauteur, définie via la forme de Chow de la variété, se décompose en hauteurs locales, par exemple pour une place archimédienne la heuteur locale est la mesure de Mahler de la forme de Chow correspondante (i.e. la moyenne du logarithme du module de la forme de Chow sur le bord distingué du polydisque unité).
En première partie il est montré qu’en remplacant la mesure de Mahler par d’autres mesures naturelles (obtenues en intégrant sur des cycles différents, par exemple la sphère unité) on obtient des notions de hauteur équivalentes. C’est-à-dire que le module de la différence de deux telles hauteurs est majoré par un multiple (qui ne dépend que de la dimension de l’espace projectif ambiant) du degré de la variété. Cette équivalence est ensuite utilisée pour exprimer la chute des hauteurs locales archimédiennes par intersection par une forme, comme l’intégrale pour la métrique de Fubini-Study sur la variété du logarithme du module de la forme. Ce résultat est à rapprocher du théorème de Wirtinger. Enfin, il est montré comment normaliser, sur les variétés abéliennes, cette hauteur pour obtenir une hauteur canonique étendant la hauteur de Néron-Tate aux sous- variétés algébriques de dimension \(>0\). Signalons aussi que les hauteurs déduites de la théorie d’Arakelov sont équivalentes (au sens ci-dessus) à celles étudiées ici.
(P. Philippon)
Um die lokalen Höhen an unendlichen Stellen zu definieren, hat Verf. [Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 64, 5-52 (1986; Zbl 0615.10044)] früher das Mahlersche Maß \(m(P)\) eines Polynoms \(P\) verwendet. Hier wird nun zunächst gezeigt, daß auch andere Wahlen zu (in präzisiertem Sinne) äquivalenten Begriffen führen. Bezeichnet etwa \(S_ n(1)\) die Einheitssphäre in \({\mathbb{C}}^ n\simeq {\mathbb{R}}^{2n}\) und \(\sigma_ n\) ihr kanonisches Maß in der Normierung \(\int_{S_ n(1)}\sigma_ n =1,\) so gilt für \(P\in {\mathbb{C}}[z_ 1,...,z_ n]\setminus \{0\}\) die Ungleichung \(0\leq m(P)-\int_{S_ n(1)}(\log | P|)\sigma_ n \leq 4d(P) \log (n),\) wobei \(d(P)\) den Gesamtgrad von \(P\) bezeichnet.
Eines der Hauptergebnisse der vorliegenden Arbeit ist ein arithmetisches Analogon zum Satz von Wirtinger, der besagt, daß der Grad einer Varietät \(V\subset {\mathbb{P}}_ n(\mathbb{C})\) der Dimension \(r-1\) sich als Integral der \((r-1)\)-ten Potenz der kanonischen Fubini-Study-Form über \(V\) darstellen läßt. Etwas präziser: Es wird für die komplexen lokalen Höhen eine (hier nicht reproduzierbare) Formel gezeigt, die erkennen läßt, daß die von G. Faltings [Ann. Math., II. Ser. 133, No.3, 549-576 (1991)] mittels Arakelov-Theorie eingeführte Höhe mit der vom Verf. (loc. cit.) definierten äquivalent ist, genauer, daß sich beide höchstens um \(c(n)\deg(V)\) unterscheiden.
Ein zweiter Hauptpunkt der Arbeit ist die Verallgemeinerung der Néron- Tate-Höhe abelscher Varietäten auf höhere Dimensionen. Sei A eine über \(\bar\mathbb{Q}\) definierte abelsche Varietät endlicher Dimension, projektiv normal in \({\mathbb{P}}_ n\), so existiert genau eine Abbildung \(h_ A\) der Menge aller über \(\bar\mathbb{Q}\) definierten algebraischen Untervarietäten V von A in die nichtnegativen reellen Zahlen, die die Néron-Tate-Höhe von A fortsetzt und für die einfache Zusammenhänge zwischen \(h_ A([m]V)\) bzw. \(h_ A([m]^{-1}V)\) und \(h_ A(V)\) angegeben werden, wobei \([m]\) die Multiplikation mit \(m\in {\mathbb{N}}\) in A bedeutet.

Reviewer: P.Bundschuh (Köln)

MSC:

14G40	Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights
14K15	Arithmetic ground fields for abelian varieties
11G10	Abelian varieties of dimension \(> 1\)
11J81	Transcendence (general theory)
11R04	Algebraic numbers; rings of algebraic integers
14H25	Arithmetic ground fields for curves

Keywords:

heights of abelian varieties; Néron-Tate height; degree of projective varieties; local height; Arakelov theory; Wirtinger theorem; Chow form; Mahler measure

Citations:

Zbl 0615.10044

References:

[1]	Azhari, A.: Multidegrés et courants d’intégration. Dans: Méthodes analytiques pour les lemmes de zéros. Thèse Univ. Paris VI, 1988
[2]	Bertrand, D.: Problèmes locaux. Appendice I de: Nombres transcendants et groupes algébriques par Waldschmidt, M. Astérisque69-70, 163-189 (1979)
[3]	David, S.: Fonctions thêta et points de torsion des variétés abéliennes. Dans: Fonctions thêta, formes modulaires et approximation diophantienne. Thèse Univ. Paris VI, 1989
[4]	Faltings, G.: Diophantine approximation on abelian varieties. Ann. Math. (à paraître) · Zbl 0734.14007
[5]	Griffith, P., Harris, J.: Principles of algebraic geometry. New York: Wiley Interscience, 1978 · Zbl 0408.14001
[6]	Hindry, M.: Géométrie et hauteurs dans les groupes algébriques. Thèse Univ. Paris VI, 1987
[7]	Laag, S.: Fundamentals of diophantine geometry. Berlin Heidelberg New York: Springer 1983
[8]	Mumford, D.: Abelian varieties. Oxford: Oxford Univ. Press 1985 · Zbl 0583.14015
[9]	Philippon, P.: Critères pour l’indépendance algébrique. Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci.64, 5-52 (1986) · Zbl 0615.10044
[10]	Philippon, P.: Dénominateurs dans le théorème des zéros de Hilbert. Acta Arith.58, (1991)
[11]	Serre, J.-P.: Quelques propriétés des groupes algébriques commutatifs, Appendice II de: Nombres transcendants et groupes algébriques, par Waldschmidt, M. Astérisque69-70, 191-202 (1979)
[12]	Soulé, C.: Géométrie d’Arakelov et nombres transcendants. Dans: Journées Arithmétiques de Luminy, 1989, Astérisque (à paraître)
[13]	Waldschmidt, M.: Propriétés arithmétiques de fonctions de plusieurs variables. Cours de troisième cycle rédigé par Juhel A. et Menegaut J.M., 1978