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Sur des hauteurs alternatives. I. (On alternative heights. I). (French) Zbl 0726.14017
On a introduit, en théorie des nombres transcendants, une notion de hauteur pour les variétés projectives définies sur \({\bar\mathbb{Q}}\). Cette hauteur, définie via la forme de Chow de la variété, se décompose en hauteurs locales, par exemple pour une place archimédienne la heuteur locale est la mesure de Mahler de la forme de Chow correspondante (i.e. la moyenne du logarithme du module de la forme de Chow sur le bord distingué du polydisque unité).
En première partie il est montré qu’en remplacant la mesure de Mahler par d’autres mesures naturelles (obtenues en intégrant sur des cycles différents, par exemple la sphère unité) on obtient des notions de hauteur équivalentes. C’est-à-dire que le module de la différence de deux telles hauteurs est majoré par un multiple (qui ne dépend que de la dimension de l’espace projectif ambiant) du degré de la variété. Cette équivalence est ensuite utilisée pour exprimer la chute des hauteurs locales archimédiennes par intersection par une forme, comme l’intégrale pour la métrique de Fubini-Study sur la variété du logarithme du module de la forme. Ce résultat est à rapprocher du théorème de Wirtinger. Enfin, il est montré comment normaliser, sur les variétés abéliennes, cette hauteur pour obtenir une hauteur canonique étendant la hauteur de Néron-Tate aux sous- variétés algébriques de dimension \(>0\). Signalons aussi que les hauteurs déduites de la théorie d’Arakelov sont équivalentes (au sens ci-dessus) à celles étudiées ici.
(P. Philippon)
Um die lokalen Höhen an unendlichen Stellen zu definieren, hat Verf. [Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 64, 5-52 (1986; Zbl 0615.10044)] früher das Mahlersche Maß \(m(P)\) eines Polynoms \(P\) verwendet. Hier wird nun zunächst gezeigt, daß auch andere Wahlen zu (in präzisiertem Sinne) äquivalenten Begriffen führen. Bezeichnet etwa \(S_ n(1)\) die Einheitssphäre in \({\mathbb{C}}^ n\simeq {\mathbb{R}}^{2n}\) und \(\sigma_ n\) ihr kanonisches Maß in der Normierung \(\int_{S_ n(1)}\sigma_ n =1,\) so gilt für \(P\in {\mathbb{C}}[z_ 1,...,z_ n]\setminus \{0\}\) die Ungleichung \(0\leq m(P)-\int_{S_ n(1)}(\log | P|)\sigma_ n \leq 4d(P) \log (n),\) wobei \(d(P)\) den Gesamtgrad von \(P\) bezeichnet.
Eines der Hauptergebnisse der vorliegenden Arbeit ist ein arithmetisches Analogon zum Satz von Wirtinger, der besagt, daß der Grad einer Varietät \(V\subset {\mathbb{P}}_ n(\mathbb{C})\) der Dimension \(r-1\) sich als Integral der \((r-1)\)-ten Potenz der kanonischen Fubini-Study-Form über \(V\) darstellen läßt. Etwas präziser: Es wird für die komplexen lokalen Höhen eine (hier nicht reproduzierbare) Formel gezeigt, die erkennen läßt, daß die von G. Faltings [Ann. Math., II. Ser. 133, No.3, 549-576 (1991)] mittels Arakelov-Theorie eingeführte Höhe mit der vom Verf. (loc. cit.) definierten äquivalent ist, genauer, daß sich beide höchstens um \(c(n)\deg(V)\) unterscheiden.
Ein zweiter Hauptpunkt der Arbeit ist die Verallgemeinerung der Néron- Tate-Höhe abelscher Varietäten auf höhere Dimensionen. Sei A eine über \(\bar\mathbb{Q}\) definierte abelsche Varietät endlicher Dimension, projektiv normal in \({\mathbb{P}}_ n\), so existiert genau eine Abbildung \(h_ A\) der Menge aller über \(\bar\mathbb{Q}\) definierten algebraischen Untervarietäten V von A in die nichtnegativen reellen Zahlen, die die Néron-Tate-Höhe von A fortsetzt und für die einfache Zusammenhänge zwischen \(h_ A([m]V)\) bzw. \(h_ A([m]^{-1}V)\) und \(h_ A(V)\) angegeben werden, wobei \([m]\) die Multiplikation mit \(m\in {\mathbb{N}}\) in A bedeutet.

MSC:
14G40 Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights
14K15 Arithmetic ground fields for abelian varieties
11G10 Abelian varieties of dimension \(> 1\)
11J81 Transcendence (general theory)
11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers
14H25 Arithmetic ground fields for curves
Citations:
Zbl 0615.10044
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
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