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Extended affine surface area. (English) Zbl 0727.53016
Nach einer Idee von F. Behrend [Math. Ann. 113, 713-747 (1937; Zbl 0015.36705)] hatte C. N. Petty [Geom. Dedicata 3, 77-97 (1974; Zbl 0285.52006)] für beliebige kompakte konvexe Körper K des n- dimensionalen euklidischen Raumes \(R^ n\) eine gegen volumtreue Affinitäten des \(R^ n\) invariante “geominimale” Oberfläche \(G(\partial K):=\inf_{Q\in C^ n_ c}nV(K,...,K,Q^*)\) als Infimum der Relativoberflächen von K bezüglich der Polarkörper \(Q^*\) von beliebigen kompakten konvexen Körper Q des \(R^ n\) vom Volumen \(\omega_ n\) der n-dimensionalen Einheitskugel mit dem Koordinatenursprung 0 als Schwerpunkt definiert. Sein Hauptergebnis war die Übereinstimmung von \(((n\omega_ n)^{1/n}G(\partial K))^{n/(n+1)}\) mit der Blaschkeschen Affinoberfläche \(O_{aff}(\partial K)\) von K für affin positiv gekrümmte Körper K mit \(\partial K\in C^+_ 4.\)
Verf. ändert nun diese Definition dahingehend ab, daß bei ihr die Klasse \(C^ n_ c\) der von Petty verwandten Körper Q durch die Klasse \(S^ n_ c\) der Sternkörper des \(R^ n\) bezüglich O mit O als Schwerpunkt ersetzt und hierbei das gemischte Volumen \(nV(K,...,K,Q^*)\) durch das Integral \(\int_{\partial B}1/\rho_ Q(dS_ K)\) mit dem Inversen der Radialfunktion \(\rho_ Q\) von Q als Integranden und dem Aleksandrovschen Oberflächenmaß \(S_ K\) von K als Maß ausgedrückt wird. Auf diese Weise erhält er einen Oberflächenbegriff \(\Omega\) (\(\partial K)\) für beliebige konvexe Körper K, welcher mit \(O_{aff}(\partial K)\) für alle Körper K mit \(\partial K\in C^+_ 2\) übereinsteimmt. Die Eigenschaften dieses Begriffs werden ausführlich diskutiert, wobei die (lange vermutete) obere Halbstetigkeit von \(\Omega\) von besonderer Bedeutung ist.
[Anm. des Ref.: Ersetzt man in der Lutwakschen Definition die Klasse \(S^ n_ c\) durch die Klasse \(S^ n_ 0\) aller Sternkörper mit O als innerem Punkt, so stimmt der so abgeänderte Affinoberflächenbegriff \({\tilde \Omega}\)(\(\partial K)\) mit einem vom Ref. unabhängig vom Verf. für beliebiges K eingeführtem Affinoberflächenbegriff überein, vgl. Manuscr. Math. 65, 181-197 (1989; Zbl 0685.53012).

MSC:
53A15 Affine differential geometry
53A20 Projective differential geometry
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