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A new obstruction to embedding Lagrangian tori. (English) Zbl 0727.58015
Soit j: \(L\to ({\mathbb{R}}^{rn},d\lambda)\) où \(\lambda =\sum^{n}_{i=1}x_ idy^ i\) un plongement lagrangien d’une variété compacte L. Un résultat de Gromov assure que la classe \([j^*\lambda]\) de \(j^*\lambda\) est non nulle. L’auteur s’intéresse au cas de \(L=T^ n\) et il prouve un résultat plus fin:
Théoréme A: Si j: \(T^ n\to ({\mathbb{R}}^{rn},d\lambda)\) est un plongement lagrangien d’un tore, il existe un lacet \(\gamma\) de \(T^ n\) tel que: (i) \(<j^*\lambda,\gamma >>0\), (ii) \(<\mu (j),\gamma >\in [2,n+1]\) où \(\mu\) est la classe de Maslov de j.
Ceci implique qu’il n’existe pas de plongement lagrangien du tore \(T^ n\) dont la classe de Maslov appartienne à \(d.{\mathbb{Z}}^ n\) si d \(> n+1.\)
L’auteur en déduit également les deux conséquences suivantes:
1. Une immersion lagrangienne de \(T^ 2\) dans \({\mathbb{R}}^ 4\) est régulièrement homotope à un plongement si et seulement si sa classe de Maslov est le double d’un générateur de \(H^ 1(T^ 2).\)
2. Si j: \(T^ n\to T^*T^ n\) est un plongement lagrangien tel que le degré de \(\pi_ 0j\) soit différent de 0 (où \(\pi\) : \(T^*T^ n\to T^ n)\) la classe de Maslov de j est nulle.
L’auteur remarque également que découle de son résultat, l’existence de structures exotiques sur \({\mathbb{R}}^{2n}\) due à Gromov.
La démarche suivie pour démontrer le théorème A diffère de celle de Gromov. L’auteur commence par montrer l’équivalence du théorème A avec la forme affaiblie B où l’on ne demande plus que \(<j^*\lambda,\gamma >\geq 0\) en utilisant le modèle local d’une variété symplectique au voisinage d’une sous-variété lagrangienne compacte du à Weinstein.
Ensuite l’auteur construit sur \({\mathbb{R}}^{2n}\) une famille \(H_{\epsilon}\) d’hamiltoniens qui possèdent une solution périodique avec action positive \(A_{H_{\epsilon}}\). Il prouve que si \(A_ H\) a une orbite critique \(\gamma\) telle que \(A_ H(x)>a\) et que son indice de Conley-Zehnder soit compris entre 2 et \(n+1\), alors la condition \(<j^*\gamma,\lambda >\geq 0\) est réalisée. Puis l’auteur d’une part relie l’indice de Conley-Zehnder à l’indice de Maslov et d’autre part prouve l’existence d’orbites périodiques à indice de Conley-Zehnder fixé, ce qui lui permet de conclure.

MSC:
37J99 Dynamical aspects of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems
53C23 Global geometric and topological methods (à la Gromov); differential geometric analysis on metric spaces
58E05 Abstract critical point theory (Morse theory, Lyusternik-Shnirel’man theory, etc.) in infinite-dimensional spaces
57R40 Embeddings in differential topology
37G99 Local and nonlocal bifurcation theory for dynamical systems
PDF BibTeX Cite
Full Text: DOI EuDML
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