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A generalization of Hilbert’s theorem 94. (English) Zbl 0728.11061

L’A. donne ici la preuve attendue de la célèbre conjecture sur la capitulation qui postule que dans une extension abélienne non ramifiée co-décomposée L/K de corps de nombres, le noyau \(Cap_{L/K}\) de l’homomorphisme naturel \(C\ell_ K\to C\ell_ L\) induit par l’extension des idéaux (i.e. la “capitulation”) est au moins d’ordre [L : K].
Le cas cyclique est bien connu depuis D. Hilbert (c’est le classique théorème 94). Le cas maximal (i.e. celui où L est précisément le corps de classes de Hilbert de K), établi un quart de siècle plus tard par E. Artin et Ph. Furtwängler, se ramène via la correspondance du corps de classes à un pur problème de théorie des groupes. Des extensions ultérieures, faisant intervenir la théorie des genres ont été avencées dans les année 50 par T. Tannaka et F. Terada, et, tout récemment dans un contexte très différent, par K. Miyake.
La preuve très élégante de l’A. reprend l’approche linéaire du problème, introduite par E. Artin et J. Tate, pour établir le résultat purement algébrique suivant (qui entraîne la conjecture en vertu de l’interprétation corps de classes évoquée plus haut): Théorème: Pour tout sous-groupe normal H d’un groupe fini G tel que le quotient \(G/H\) soit abélien, l’ordre \((G:H)\) de ce quotient divise celui du noyau \(| Ker Ver_{G/H}|\) du transfert \(H^{ab}\to G^{ab}\).

MSC:

11R37 Class field theory
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References:

[1] Expo. Math. 7 pp 289– (1989)
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