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On properties of a nonlinear evolution equation of fifth order describing wave processes in media with weak dispersion. (English. Russian original) Zbl 0728.35019
Proc. Steklov Inst. Math. 186, 255-260 (1991); translation from Tr. Mat. Inst. Steklova 186, 222-226 (1989).
Eine weite Klasse von Erscheinungen, die die Ausbreitung von Wellen kleiner Amplitude in Medien mit Dispersion und Dissipation betreffen, wird durch das Dispersionsgesetz charakterisiert: \(w=P(k)\), wobei w die Frequenz und k die Wellenzahl bedeuten. Der Autor betrachtet das Dispersionsgesetz \((1)\quad w=\kappa k^ 3+\gamma k^ 5.\)
Zu (1) gehört eine nichtlineare Evolutionsgleichung \[ (2)\quad \eta_ t+\epsilon \eta \eta_ x+\eta_{xxx}+\gamma \eta_{xxxxx}=0, \] die Wellenprozesse in Medien mit schwacher Dispersion beschreibt. Der Autor untersucht (2) mit Hilfe von Lie-Algebren. Eine einmalige Integration von (2) liefert das dynamische System \[ du/dr=w,\quad dw/dr=y,\quad dy/dr=z,\quad dz/dr=Vu-u^ 2/2-\alpha y, \] welches der Autor nach singulären Punkten, invariaten, stabilen Mannigfaltigkeiten usw. untersucht.
Reviewer: J.Wloka (Kiel)
MSC:
35F25 Initial value problems for nonlinear first-order PDEs
37C70 Attractors and repellers of smooth dynamical systems and their topological structure
17B99 Lie algebras and Lie superalgebras
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