Asymptotic expansions of eigenvalues and eigenfunctions of problems on oscillations of a medium with concentrated perturbations. (Russian) Zbl 0728.35077

Golovatyĭ, Yu. D.; Nazarov, S. A.; Oleĭnik, O. A.

Tr. Mat. Inst. Steklova 192, 42-60 (1990).

Die Autoren untersuchen die Spektralwertaufgabe für den Laplace- Operator \[ \Delta u(\epsilon,x)+\lambda (\epsilon)\rho_{\epsilon}(x)u(\epsilon,x)=0,\quad x\in \Omega;\quad u(\epsilon,x)=0,\quad x\in \partial \Omega; \] hier ist \(\Omega\) beschränkt in \(R^ n\), \(\lambda\) der spektrale Parameter, \(\epsilon >0\) ein kleiner Parameter und \[ \rho_{\epsilon}(x)=1+\epsilon^{- m}\chi (\epsilon^{-1}x),\quad m\in {\mathbb{R}}, \] wobei \(\chi (\xi)=0\) für \(| \xi | >1\), und \(\chi (\xi)>0\) für \(| \xi | \leq 1.\)
Die Autoren geben asymptotische Entwicklungen für die Eigenwerte \(\lambda_ k(\epsilon)\) und für die Eigenfunktionen \(u_ k(\epsilon,x)\) im Falle \(n=3\), \(m\in {\mathbb{Z}}\) an.

Reviewer: J.Wloka (Kiel)

MSC:

35P15	Estimates of eigenvalues in context of PDEs
35J05	Laplace operator, Helmholtz equation (reduced wave equation), Poisson equation
35B20	Perturbations in context of PDEs

Keywords:

asymptotic expansions of eigenvalues; eigenfunctions; spectral value; Laplace operator