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Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. (English) Zbl 0729.65051
Springer Series in Computational Mathematics, 14. Berlin etc.: Springer-Verlag. xv, 601 p. DM 128.00 (1991).
Nach dem Erscheinen des ersten Bandes vor vier Jahren (1987; Zbl 0638.65058) über nicht steife Probleme war der vorliegende Band von vielen Kollegen, die ich gesprochen habe, zunehmend ungeduldiger erwartet worden. Nun, da er mit einem Umfang von knapp 600 Seiten vorliegt, fällt es leicht festzustellen, daß alle Erwartungen übertroffen sein sollten. Ein in jeder Hinsicht so gut gelungenes Buch findet man nur selten, und in dem behandelten Gebiet der steifen Anfangswertaufgaben wird es für lange Jahre Nr. 1 in den Charts sein.
Genau genommen sind in diesem Band zwei Bücher enthalten, da die Verfasser es mit den steifen Problemen allein nicht haben genug sein lassen, sondern zu den zwei Kapiteln IV: Stiff Problem - One-Step Methods (254 S.) und V: Multistep Methods for Stiff Problems (144 S.) noch ein sechstes: Singular Perturbation Problems and Differential-Algebraic Equations (146 S.) hizugefügt haben. Die Erweiterung des Inhalts um diese Komponente macht das Buch noch einmal gewichtiger als es ohnehin mit den beiden anderen Kapiteln allein schon wäre, zumal die Autoren aus ihren eigenen Forschungsergebnissen auch zu dem Thema des Kapitels VI schöpfen konnten.
Die magere Zahl von nur drei Kapiteln könnte zu dem Fehlschluß eines knappen Inhalts veranlassen, wo das Buch im Gegenteil an Vollständigkeit keinen Wunsch offen lassen dürfte. Dies wird auch sofort an den \(15+9+9\) Abschnitten erkennbar, in die die Kapitel unterteilt sind, die ihrerseits sich wieder in insgesamt 235 Paragraphen untergliedern. Hinzu treten noch zu jedem Abschnitt Übungsaufgaben, die allerdings oft den Charakter einer ergänzenden Fortsetzung des gerade präsentierten Materials annehmen. Zudem haben die Autoren in einem Anhang die Beschreibung von sechs Subroutinen für steife Probleme hinzugefügt, zu denen die kodierten Programme von den Verfassern erhältlich sind. Nicht deutlicher als durch diesen Anhang (und die Abschnitte über umfangreiche vergleichende numerische Experimente mit diesen und anderen existierenden Codes) hätte die Bedeutung sichtbar gemacht werden können, die die Autoren auf praktisch numerische Gesichtspunkte legen, bei aller Tiefe und großer Eleganz der mathematischen Analyse.
Wenn auch der Inhalt des vorliegenden Bandes mit dem Wort “umfassend” schon genau beschrieben ist, so sollen doch einige Themen explizit genannt werden. Bereits in Abschnitt IV.4 werden die order stars eingeführt, was nicht verwunderlich ist, wo die Autoren diese Theorie so entscheidend mit geprägt haben. Implizite Runge-Kutta-Verfahren einschließlich DIRK- und SDIRK-Verfahren - und bei diesen Autoren selbstverständlich auch Rosenbrock-Methoden - werden aufs Feinste abgehandelt. Es fehlen nicht die Extrapolationsmethoden, deren Darstellung beispielsweise einen eleganten Beweis des Satzes von Bader und Deuflhard über die Existenz asymptotischer Entwicklungen, Figuren zu den sich ergebenden Stabilitätsgebieten der extrapolierten Verfahren und zwei Codes (basierend auf der linear impliziten Mittelpunktsregel sowie auf dem linear impliziten Eulerverfahren) enthält. Kapitel IV ist damit noch lange nicht zu Ende, es folgt eine ausführliche Behandlung der verschiedenen Stabilitätsbegriffe (A-Stabilität, AN-Stabilität, B-Stabilität, Kontraktivität, algebraische Stabilität, (k,1)- Stabilität) und ihrer Zusammenhänge untereinander. An dieser Stelle findet sich auch ausgeführt der Satz der Verfasser über die Charakterisierung algebraisch stabiler Methoden für Runge-Kutta- Verfahren, die zu Quadraturformeln mit positiven Gewichten gehören. Auch nicht ausgelassen werden die Ergebnisse zur B-Konvergenz, dem für steife Probleme angemessenen Konvergenzbegriff, und natürlich gibt es einen Abschnitt über die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für implizite Runge-Kutta-Verfahren.
In Kapitel V wird die Erwartung nicht enttäuscht, daß ein Abschnitt über Order Stars auf Riemannschen Flächen existiert, wozu selbstverständlich der Beweis der Daniel-and-Moore-Conjecture gehört. Vorher werden Resultate über A-stabile und A(\(\alpha\))-stabile Mehrschrittverfahren dargestellt, hierbei etwa das Disc-Theorem von Jeltsch und Nevanlinna. Einige Abschnitte sind Konvergenzresultaten von Mehrschrittverfahren bei steifen Problem gewidmet. Hierzu gehört die Dahlquistsche G-Stabilität für one-leg Methoden, aber es werden auch nicht-A-stabile Verfahren betrachtet, sowohl für lineare Differentialgleichungen (u.a. beruhend auf einer Anwendung des Matrixtheorems von Kreiss) als auch für nichtlineare Aufgaben (Multiplier-Technik sowie diskrete Variation der Konstanten- Störungstechnik). Kapitel V schließt mit der Behandlung der auf Butcher und Burrage zurückgehenden Klasse allgemeiner linearer Methoden.
Das letzte Kapitel über Algebro-Differentialgleichungen enthält in seinem ersten Teil u.a. Konvergenzbeweise für Runge-Kutta-, linear implizites Euler- sowie Rosenbrockverfahren für Index 1-Probleme, wobei scharfe Konvergenzordnungs-Aussagen mit Hilfe asymptotischer Entwicklungen gewonnen werden. Es folgt dann die Lösung von Index 2- Problemen, vor allem mit den BDF-Formeln und Runge-Kutta-Verfahren. Das letzte Kapitel und damit das Buch insgesamt endet mit einem Bonbon aus der Theorie der Ordnungsbedingungen für Index 2-Systeme und einem weiteren aus der numerischen Berechnung eines Mehrkörpersystems unter Nebenbedingungen.
Bleibt nur noch zu sagen, daß die animierende Präsentation des Gebietes dem ersten Band entsprechend beibehalten worden ist. Viele graphisch ansprechende Figuren und das mit TEX optisch angenehm gestaltete Layout machen zusätzlich einen Blick in das Buch zur Freude.

MSC:
65L05 Numerical methods for initial value problems
65-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to numerical analysis
65L06 Multistep, Runge-Kutta and extrapolation methods for ordinary differential equations
65L20 Stability and convergence of numerical methods for ordinary differential equations
34-04 Software, source code, etc. for problems pertaining to ordinary differential equations
34A34 Nonlinear ordinary differential equations and systems, general theory
34E13 Multiple scale methods for ordinary differential equations
34E15 Singular perturbations, general theory for ordinary differential equations
Software:
RODAS
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